时域有限差分

时域有限差分 (FDTD) 或 Yee 的方法（以美籍华裔应用数学家 Kane S. Yee 的名字命名，生于 1934 年）是一种数值分析技术，用于模拟计算电动力学（寻找相关系统的近似解 微分方程）。由于它是一种时域方法，FDTD 解决方案可以通过单次模拟运行覆盖很宽的频率范围，并以自然的方式处理非线性材料特性。

FDTD 方法属于基于网格的微分数值建模方法（有限差分方法）的总类。 时间相关的麦克斯韦方程（偏微分形式）使用空间和时间偏导数的中心差分近似进行离散化。 由此产生的有限差分方程可以在软件或硬件中以一种跨越式的方式求解：空间体积中的电场矢量分量在给定的时刻及时求解； 然后在下一时刻求解同一空间体积内的磁场矢量分量； 并且这个过程一遍又一遍地重复，直到完全演化出所需的瞬态或稳态电磁场行为。

多年来，用于计算流体动力学问题的时间相关偏微分方程 (PDE) 的有限差分格式已被采用，包括在空间和时间的交错网格上使用中心有限差分算子以实现二阶精度的想法。新颖性 Kane Yee 的 FDTD 方案在他 1966 年的开创性论文中提出，是对麦克斯韦旋度方程中的每个电场和磁场矢量场分量在空间和时间上的交错网格上应用中心有限差分算子。描述符 Finite- 差分时域及其相应的 FDTD 首字母缩写词由 Allen Taflove 于 1980 年提出。大约从 1990 年开始，FDTD 技术已成为对处理电磁波与材料结构相互作用的许多科学和工程问题进行计算建模的主要手段。当前的 FDTD 建模应用范围从近直流（涉及整个地球电离层波导的超低频地球物理学）到微波（雷达特征技术、天线、无线通信设备、数字互连、生物医学成像/治疗）到可见光（光子晶体、 纳米等离子体、孤子和生物光子学）。2006 年，估计有 2,000 篇 FDTD 相关出版物出现在科学和工程文献中。

通过首先考虑麦克斯韦方程的 FDTD 数值技术的历史，可以了解其基础、技术发展和可能的未来。下面列出了该领域的一些主要出版物。

检查麦克斯韦微分方程时，可以看出电场随时间的变化（时间导数）取决于空间中磁场的变化（旋度） 。这导致了基本的 FDTD 时间步长关系，即在空间中的任何一点，E 场的更新值在时间上取决于 E 场的存储值和 H 的局部分布的数值旋度 - 空间场。

H 场以类似的方式进行时间步进。在空间任意一点，H场的时间更新值取决于H场的存储值和空间E场局部分布的数值旋度。迭代 E 场和 H 场更新会导致时间进程，其中所考虑的连续电磁波的采样数据模拟在存储在计算机内存中的数字网格中传播。

此描述适用于 1-D、2-D 和 3-D FDTD 技术。 当考虑多个维度时，计算数值旋度会变得复杂。 Kane Yee 在 1966 年的开创性论文中提出了在空间上交错关于笛卡尔计算网格的矩形单位单元的电场和磁场的矢量分量，以便每个电场矢量分量位于一对磁场之间的中间 矢量分量，反之。 这种方案现在被称为 Yee 格，已被证明非常稳健，并且仍然是许多当前 FDTD 软件结构的核心。

此外，Yee 提出了一种用于及时行进的 leapfrog 方案，其中 E 场和 H 场更新交错，以便在连续 H 场更新之间的每个时间步长中途进行 E 场更新，反之亦然。从好的方面来说，这种明确的时间步进方案避免了求解联立方程的需要。