非齐次的电磁波方程

在电磁学及其应用中，非齐次电磁波方程或非齐次电磁波方程是描述由非零源电荷和电流产生的电磁波传播的一组波动方程之一。

波动方程中的源项使偏微分方程变得非齐次，如果源项为零则方程简化为齐次电磁波方程。方程遵循麦克斯韦方程。

作为参考，下面以 SI 单位和高斯单位总结了麦克斯韦方程组。 由于源电荷密度 ρ 和电流密度 J，它们控制电场 E 和磁场 B：

其中 ε0 是真空介电常数，μ0 是真空磁导率。 自始至终，关系

ε 0 μ 0 = 1 c 2 {displaystyle varepsilon _{0}mu _{0}={dfrac {1}{c{2}}}}

也被使用。

麦克斯韦方程组可以直接给出电场E和磁场B的非齐次波动方程。将高斯定律和安培定律代入法拉第感应定律的旋度，利用旋度 旋度恒等式 ∇ × (∇ × X) = ∇(∇ ⋅ X) − ∇2X（右侧最后一项是矢量拉普拉斯算子，而不是应用于标量函数的拉普拉斯算子。）给出电场的波动方程 乙：

1 c 2 ∂ 2 E ∂ t 2 − ∇ 2 E = − ( 1 ε 0 ∇ ρ + μ 0 ∂ J ∂ t ) 。 {displaystyle {dfrac {1}{c{2}}}{dfrac {partial {2}mathbf {E} }{partial t{2}}}-nabla {2}mathbf {E} =-left({dfrac {1}{varepsilon _{0}}}nabla rho +mu _{0}{dfrac {partial mathbf {J} }{partial t}}right),.}

类似地，将磁力的高斯定律代入安培环路定律的旋度（带有麦克斯韦的附加瞬态项），并使用旋度恒等式的旋度，给出磁场 B 的波动方程 :

1 c 2 ∂ 2 B ∂ t 2 − ∇ 2 B = μ 0 ∇ × J 。 {displaystyle {dfrac {1}{c{2}}}{dfrac {partial {2}mathbf {B} }{partial t{2}}}-nabla {2}mathbf {B} =mu _{0}nabla times mathbf {J} ,.}

每个方程的左侧对应波运动（D'Alembert 算子作用于场），而右侧是波源。 方程式表明，如果存在电荷密度梯度 ρ、电流密度 J 环流、时变电流密度或它们的任何混合，就会产生电磁波。

这些形式的波动方程在实践中并不经常使用，因为源项非常复杂。 在文献中更常遇到并在理论上使用的更简单的公式使用接下来介绍的电磁势公式。

引入由 E 和 B 场定义的电势 φ（标量势）和磁势 A（矢量势）：

E = − ∇ φ − ∂ A ∂ t , B = ∇ × A 。 {displaystyle mathbf {E} =-nabla varphi -{partial mathbf {A} over partial t},,quad mathbf {B} =nabla times mathbf {A} ,.}

具有电荷 ρ 和电流 J 源的真空中的四个麦克斯韦方程简化为两个方程，电的高斯定律为：

∇ 2 φ + ∂ ∂ t ( ∇ ⋅ A ) = − ρ ε 0 , {displaystyle nabla {2}varphi +{{partial } over partial t}left( nabla cdot mathbf {A} right)=-{rho over varepsilon _{0}},,}

其中 ∇ 2 {displaystyle nabla {2}} 是应用于标量函数的拉普拉斯算子，安培-麦克斯韦定律为：

∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 − ∇ ( 1 c 2 ∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ A ) = − μ 0 J {displaystyle nabla {2}mathbf {A} - {1 over c{2}}{partial {2}mathbf {A} over partial t{2}}-nabla left({1 over c{2 }}{{partial varphi } over {partial t}}+nabla cdot mathbf {A} right)=-mu _{0}mathbf {J} ,}

其中 ∇ 2 {displaystyle nabla {2}} 这里是应用于矢量场的矢量拉普拉斯算子。 源项现在简单得多，但波项不那么明显。 由于势不是xxx的，但具有规范自由度，因此可以通过规范固定来简化这些方程。 一个常见的选择是洛伦兹规范条件：

1 c 2 ∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ A = 0 {displaystyle {1 over c{2}}{{partial varphi } over {partial t}}+nabla cdot mathbf {A} =0}。