柯布-道格拉斯生产函数

在经济学和计量经济学中，柯布-道格拉斯产量函数是生产函数的一种特殊函数形式，广泛用于表示两种或多种投入（特别是物质资本和劳动力）的数量与产出数量之间的技术关系可以由这些输入产生。Cobb-Douglas形式是由CharlesCobb和PaulDouglas在1927年至1947年间根据统计证据开发和测试的；根据Douglas的说法，功能形式本身是由PhilipWicksteed更早开发的。

在生产具有两个要素的单一商品的最标准形式中，函数是Y=ALβKα{displaystyleY=AL{beta}K{alpha}}在哪里：

• Y=总产量（一年或365.25天生产的所有商品的实际价值）
• L=劳动投入（一年或365.25天的工作人时）
• K=资本投入（衡量所有机器、设备和建筑物的指标；资本投入的价值除以资本价格）
• A=全要素生产率
• α和β分别是资本和劳动力的产出弹性。这些值是由可用技术确定的常数。

产出弹性衡量产出对生产中使用的劳动力或资本水平变化的反应，其他条件相同。例如，如果α=0.45，则资本使用增加1%将导致产出增加约0.45%。有时该术语具有更严格的含义，要求函数显示恒定的规模收益，这意味着资本K和劳动力L的使用量增加一倍也会使产出Y增加一倍。如果α+β=1,如果α+β<1、规模收益递减，意味着资本K和劳动力L的百分比增加将导致产出Y的百分比增加较小，而如果α+β>1、规模收益递增，意味着资本K和劳动力L的百分比增加将导致产出Y的百分比增加更大。假设完全竞争且α+β=1，α和β可以显示为资本的和劳动力的产出份额。在其广义形式中，Cobb-Douglas函数模拟了两种以上的商品。Cobb-Douglas函数可以写成f(x)=A∞i=1nxiλi,x=(x1,…,xn)。{displaystylef(x)=Aprod_{i=1}{n}x_{i}{lambda_{i}},qquadx=(x_{1},ldots,x_{n}).}在哪里

• A是效率参数
• n为输入变量（商品）总数
• x1,...,xn是商品消费、生产等的（非负）数量。
• λi{displaystylelambda_{i}}是goodi的弹性参数

保罗·道格拉斯(PaulDouglas)解释说，他的柯布-道格拉斯产量指数的xxx个公式是在1927年开发的；在寻找函数形式来关联他为工人和资本计算的估计值时，他与数学家兼同事查尔斯科布交谈，后者提出了Y=ALβK1−β形式的函数，该函数以前被KnutWicksell、PhilipWicksteed和LéonWalras使用,尽管道格拉斯只承认Wicksteed和Walras的贡献。1926年KnutWicksell去世后不久，PaulDouglas和CharlesCobb首次在他们涵盖生产者理论主题方式的工作中实现了Cobb-Douglas函数。他使用最小二乘法对此进行了估计，得出劳动指数为0.75的结果——随后经国家经济研究局确认为0.741。1940年代后期的工作促使他们允许K和L的指数发生变化，结果得出的估计值随后被证明非常接近当时改进的生产率衡量标准。当时的一个主要批评是，对生产函数的估计虽然看似准确，但却是基于如此稀疏的数据，因此很难给他们太多可信度。

道格拉斯说，我必须承认，我对这种批评感到气馁，并想放弃努力，但有些事情告诉我应该坚持下去。突破来自使用美国人口普查数据，该数据是横截面的并提供了大量观察结果。道格拉斯在1947年作为美国经济协会主席的演讲中介绍了这些发现以及其他国家的结果。不久之后，道格拉斯进入政界并因健康状况不佳而受到打击-导致他的一方几乎没有进一步发展。然而，二十年后，他的生产函数被广泛使用，被保罗萨缪尔森和罗伯特索洛等经济学家采用。柯布-道格拉斯产量函数尤其值得注意，因为它首次开发、估计了总体或经济范围的生产函数，然后将其提交给专业人士进行分析；它标志着经济学家从微观经济学角度研究宏观经济学的方式发生了里程碑式的变化。