向量

在数学、物理和工程中，方向或简称为矢量（有时称为几何矢量或空间矢量）是具有大小（或长度）和方向的几何对象。 根据向量代数，向量可以添加到其他向量。 向量通常由有向线段表示，或者在图形上表示为连接起点 A 和终点 B 的箭头，并表示为 A B → {displaystyle {overrightarrow {AB}}} 。

向量是将 A 点带到 B 点所需要的； 拉丁词向量表示载体。 它首先被 18 世纪的天文学家用来研究围绕太阳的行星公转。 向量的大小是两点之间的距离，方向是指从 A 到 B 的位移方向。许多对实数的代数运算，如加法、减法、乘法和取反，都与向量有密切的类比，运算 它遵循熟悉的交换律、结合律和分配律的代数定律。 这些操作和相关的法律使向量成为更一般化的矢量概念的一个例子，矢量概念简单地定义为矢量空间的元素。

矢量在物理学中起着重要的作用：运动物体的速度和加速度以及作用在其上的力都可以用矢量来描述。 许多其他物理量可以被有效地视为向量。 尽管它们中的大多数不表示距离（例如位置或位移除外），但它们的大小和方向仍然可以用箭头的长度和方向来表示。 物理向量的数学表示取决于用于描述它的坐标系。 其他描述物理量并在坐标系变化下以类似方式进行变换的类矢量对象包括伪矢量和张量。

我们今天所知道的矢量概念是 200 多年逐步发展的结果。 大约有十几个人为它的发展做出了重大贡献。 1835年，Giusto Bellavitis在建立等位概念时将基本思想抽象出来。 在欧几里德平面上工作，他使任何一对具有相同长度和方向的平行线段成为等位线。 本质上，他实现了平面上点对（bipoints）的等价关系，从而建立了平面上xxx个向量空间。 向量一词由 William Rowan Hamilton 作为四元数的一部分引入，四元数是实数 s（也称为标量）和 3 维向量的总和 q = s + v。 与 Bellavitis 一样，Hamilton 将向量视为等同有向线段类的代表。 由于复数使用虚部来补充实线，Hamilton 认为向量 v 是四元数的虚部：

由直线或半径向量几何构成的代数虚部，通常对于每个确定的四元数，具有确定的空间长度和确定的方向，可以称为向量部分，或简称为向量的向量 四元数。

其他几位数学家在 19 世纪中叶开发了类似向量的系统，包括奥古斯丁柯西、赫尔曼格拉斯曼、奥古斯特莫比乌斯、圣维南伯爵和马修奥布莱恩。 Grassmann 1840 年的著作 Theorie der Ebbe und Flut（潮涨潮落理论）是xxx个类似于今天系统的空间分析系统，其思想对应于叉积、标量积和向量微分 . 直到 1870 年代，格拉斯曼的工作基本上都被忽视了。 彼得·格思里·泰特 (Peter Guthrie Tait) 在汉密尔顿之后采用了四元数标准。 他 1867 年的四元数初等论文包括对 nabla 或 del 运算符 ∇ 的广泛处理。 1878 年，William Kingdon Clifford 出版了 Elements of Dynamic。 克利福德通过从完整的四元数乘积中分离出两个向量的点积和叉积来简化四元数研究。 这种方法使工程师和其他从事三维工作并对第四维持怀疑态度的人可以进行矢量计算。

Josiah Willard Gibbs 通过 James Clerk Maxwell 的 Treatise on Electricity and Magnetism 接触到四元数，将它们的矢量部分分离出来进行独立处理。 吉布斯于 1881 年出版的《矢量分析原理》的前半部分介绍了现代矢量分析系统的本质。 1901 年，Edwin Bidwell Wilson 发表了改编自 Gibb 讲座的《矢量分析》，在矢量微积分的发展过程中不再提及四元数。

在物理学和工程学中，矢量通常被视为以大小和方向为特征的几何实体。 它被正式定义为欧几里德空间中的有向线段或箭头。 在纯数学中，向量更一般地定义为任何元素。