位置向量

在几何学中，位置或位置向量，也称为位置向量或半径向量，是欧几里德向量，表示空间中点 P 相对于任意参考原点 O 的位置。通常表示为 x、r 或 s， 它对应于从O到P的直线段。换句话说，它是将原点映射到P的位移或平移：

r = O P → {\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}}

术语位置向量主要用于微分几何、力学和偶尔的向量微积分领域。

这经常用于二维或三维空间，但可以很容易地推广到任何维度的欧几里德空间和仿射空间。

点 Q 相对于点 P 的相对位置是两个xxx位置向量（每个都相对于原点）相减所得的欧几里德向量

在三维空间中，任何一组三维坐标及其相应的基向量都可用于定义空间中的一个点的位置——可以使用对手头任务最简单的那个。

由于它们的矩形或圆形对称性，其中 t 是一个参数。 这些不同的坐标和对应的基向量表示相同的位置向量。 可以使用更一般的曲线坐标来代替，并且在连续介质力学和广义相对论等上下文中（在后一种情况下需要额外的时间坐标）。

线性代数允许对 n 维位置向量进行抽象。 位置向量可以表示为基向量的线性组合

所有位置向量的集合形成位置空间（其元素是位置向量的向量空间），因为位置可以相加（向量加法）并按长度缩放（标量乘法）以获得空间中的另一个位置向量。 空间的概念很直观，因为每个 xi (i = 1, 2, …, n) 可以有任何值，值的集合定义了空间中的一个点。

位置空间的维数为 n（也表示为 dim(R) = n）。 向量 r 相对于基向量 ei 的坐标是 xi。 坐标向量构成坐标向量或 n 元组 (x1, x2, …, xn)。

每个坐标 xi 可以被参数化为多个参数 t。 一个参数 xi(t) 描述弯曲的 1D 路径，两个参数 xi(t1, t2) 描述弯曲的 2D 表面，三个 xi(t1, t2, t3) 描述弯曲的 3D 空间体积，等等。

基组 B = {e1, e2, …, en} 的线性跨度等于位置空间 R，表示为 span(B) = R。

位置向量场用于描述连续且可微分的空间曲线，在这种情况下，独立参数不必是时间，但可以是（例如）曲线的弧长。

在任何运动方程中，位置向量 r(t) 通常是最受追捧的量，因为该函数定义了粒子（即点质量）的运动——它在某个时间 t 相对于给定坐标系的位置。

为了根据位置定义运动，每个坐标都可以按时间参数化； 由于每个连续的时间值对应于由坐标给出的一系列连续的空间位置，因此许多连续位置的连续极限是一条路径。