拉格朗日力学

在物理学中，拉格朗日力学是建立在静止作用原理（也称为最小作用原理）基础上的经典力学公式。 它是由意大利-法国数学家和天文学家约瑟夫-路易斯·拉格朗日在他 1788 年的著作《分析力学》中引入的。

拉格朗日力学将机械系统描述为一对 ( M , L ) {textstyle (M,L)} 由配置空间 M {textstyle M} 和平滑函数 L {textstyle L} 组成 在那个称为拉格朗日量的空间内。按照惯例，L = T − V , {textstyle L=T-V,} 其中 T {textstyle T} 和 V {displaystyle V} 分别是系统的动能和势能。

平稳作用原理要求从 L {textstyle L} 导出的系统的作用泛函必须在系统的整个时间演化过程中保持在一个静止点（最 大值、最小值或鞍点）。此约束允许使用拉格朗日方程计算系统的运动方程。

假设有一个在电线上滑动的珠子，或一个摆动的单摆等。如果将每个大质量物体（珠子，摆锤等）作为一个粒子进行跟踪，则使用牛顿力学计算粒子的运动 将需要解决使粒子保持受约束运动所需的时变约束力（钢丝施加在珠子上的反作用力，或摆杆中的张力）。

对于使用拉格朗日力学的同一问题，我们可以查看粒子可以采取的路径并选择一组方便的独立广义坐标，这些坐标可以完全表征粒子的可能运动。 这种选择消除了将约束力输入方程组的需要。 方程式较少，因为没有直接计算给定时刻约束对粒子的影响。

对于各种各样的物理系统，如果一个大质量物体的大小和形状可以忽略不计，将其视为点粒子是一种有用的简化。 对于质量为 m1、m2、...、mN 的 N 个点粒子系统，每个粒子都有一个位置向量，表示为 r1、r2、...、rN。 笛卡尔坐标通常就足够了，所以 r1 = (x1, y1, z1), r2 = (x2, y2, z2) 等等。 在三维空间中，每个位置向量需要三个坐标来xxx定义一个点的位置，所以有3N个坐标来xxx定义系统的配置。 这些都是空间中用于定位粒子的特定点； 空间中的一般点写为 r = (x, y, z)。 每个粒子的速度是粒子沿其运动路径移动的速度，并且是其位置的时间导数

在牛顿力学中，运动方程由牛顿定律给出。 第二定律净力等于质量乘以加速度，∑ F = m d 2 r d t 2 {displaystyle sum mathbf {F} =m{frac {d{2}mathbf {r} }{dt {2}}}} 适用于每个粒子。 对于3维的N个粒子系统，需要求解粒子位置的3N个二阶常微分方程。

拉格朗日力学不使用力，而是使用系统中的能量。 拉格朗日力学的中心量是拉格朗日函数，它是概括整个系统动力学的函数。 总体而言，拉格朗日量具有能量单位，但没有适用于所有物理系统的单一表达式。 任何产生正确运动方程的函数，符合物理定律，都可以被视为拉格朗日函数。 尽管如此，仍然可以为大型应用程序构建通用表达式。 粒子系统的非相对论拉格朗日量可以定义为

L = T − V {displaystyle L=T-V}

在哪里

T = 1 2 ∑ k = 1 N m k v k 2 {displaystyle T={frac {1}{2}}sum _{k=1}{N}m_{k}v_{k}{2 }}

是系统的总动能，等于粒子动能的总和 Σ，V 是系统的势能。

动能是系统运动的能量，vk2 = vk·vk是速度的大小平方，相当于速度与自身的点积。 动能仅是速度 vk 的函数，而不是位置 rk 或时间 t 的函数，因此 T = T(v1, v2, ...)。

系统的势能反映了粒子之间相互作用的能量，即由于所有其他粒子和其他外部影响，任何一个粒子将具有多少能量。 对于保守力（例如牛顿引力），它只是粒子位置矢量的函数，所以 V = V(r1, r2, ...)。 对于那些可以从适当的势（例如电磁势）导出的非保守力。