临界稳定

在动力系统理论和控制理论中，如果线性时不变系统既不渐近稳定也不不稳定，则它是边际稳定的。 粗略地说，如果一个系统总是回到并停留在一个特定的状态（称为稳态）附近，那么它就是稳定的；如果它越来越远离任何状态，并且不受限制，那么它就是不稳定的。

边缘系统，有时被称为具有中性稳定性，介于这两种类型之间：当发生位移时，它不会回到接近一个共同的稳定状态，也不会无限制地离开它开始的地方。

临界稳定与不稳定性一样，是控制理论力求避免的特征； 我们希望，当受到某种外力的干扰时，系统将恢复到理想状态。 这需要使用适当设计的控制算法。

在计量经济学中，观察到的时间序列中单位根的存在，使它们边缘稳定，可能导致关于自变量对因变量的影响的无效回归结果，除非使用适当的技术将系统转换为稳定系统。

一个齐次连续线性时不变系统是边际稳定的当且仅当系统传递函数中每个极点（特征值）的实部是非正的，一个或多个极点的实部为零且非零 虚部，所有实部为零的极点都是单根（即虚轴上的极点彼此不同）。 相反，如果所有极点都具有严格的负实部，则系统渐近稳定。 如果一个或多个极点具有正实部，则系统不稳定。

如果系统处于状态空间表示，则可以通过推导 Jordan 范式来分析边际稳定性：当且仅当对应于实部为零的极点的 Jordan 块是标量时，系统是边际稳定的。

一个齐次离散时间线性时不变系统是边际稳定的当且仅当传递函数的任何极点（特征值）的最 大幅度为 1，并且幅度等于 1 的极点都是不同的。 即，传递函数的谱半径为 1。如果谱半径小于 1，则系统渐近稳定。

一个简单的例子涉及一个单一的一阶线性差分方程：假设一个状态变量 x 根据

x t = a x t − 1 {displaystyle x_{t}=ax_{t-1}}

参数 a > 0. 如果系统被扰动到值 x 0 , {displaystyle x_{0},} 它的后续值序列是 a x 0 , a 2 x 0 , a 3 x 0 , … 。 {displaystyle ax_{0},,a{2}x_{0},,a{3}x_{0},,dots .} 如果 a < 1，这些数字越来越接近于 0，而不管起始值 x 0 , {displaystyle x_{0},} 而如果 a >; 1 数字越来越大，没有界限。 但是，如果 a = 1，则数字不会执行这两种操作：相反，x 的所有未来值都等于值 x 0 。 {displaystyle x_{0}.} 因此 a = 1 的情况表现出边际稳定性。

一个边际稳定系统是这样一个系统，如果给定一个有限大小的脉冲作为输入，它不会爆炸并提供无界输出，但输出也不会返回零。 输出中的有界偏移或振荡将无限期地持续存在，因此通常不会有最终的稳态输出。

如果连续系统的输入频率等于实部为零的极点的频率，则系统的输出将无限增加（这称为纯谐振）。 这解释了为什么系统要 BIBO 稳定，极点的实部必须严格为负（而不仅仅是非正）。

具有虚极的连续系统，即极的实部为零，将在输出中产生持续振荡。

例如，一个无阻尼二阶系统，如汽车悬架系统（质量-弹簧-阻尼器系统），阻尼器已从中移除并且弹簧是理想的，即没有摩擦，理论上将永远振荡 一旦被打扰。

另一个例子是无摩擦摆。 在原点处有一个极点的系统也是边缘稳定的，但在这种情况下，响应中不会出现振荡，因为虚部也为零（jw = 0 表示 w = 0 弧度/秒）。

这种系统的一个例子是摩擦表面上的质量。当施加侧向脉冲时，质量将移动并且永远不会回到零。 然而，质量将由于摩擦而停止，并且侧向运动将保持有界。

由于边缘极点的位置必须恰好位于虚轴或单位圆上（分别对于连续时间系统和离散时间系统）才能使系统处于边缘稳定状态，因此这种情况在实践中不太可能发生，除非边缘稳定是一种固有的理论 系统的特点。