非线性系统

在数学和科学中，非线性系统是输出的变化与输入的变化不成比例的系统。 工程师、生物学家、物理学家、数学家和许多其他科学家对非线性问题很感兴趣，因为大多数系统本质上都是非线性的。与更简单的线性系统形成对比的是，描述变量随时间变化的非线性动力系统可能显得混乱、不可预测或违反直觉。

通常，非线性系统的行为在数学中由非线性方程组描述，这是一组联立方程，其中未知数（或微分方程中的未知函数）显示为次数多项式的变量 高于一或在不是一阶多项式的函数的参数中。换句话说，在非线性方程组中，要求解的方程不能写成未知变量的线性组合或 它们中出现的函数。

系统可以被定义为非线性的，而不管已知的线性函数是否出现在方程中。特别是，如果微分方程在未知函数及其导数方面是线性的，即使在其中出现的其他变量方面是非线性的，也是线性的。

由于非线性动力学方程难以求解，非线性系统通常用线性方程来近似（线性化）。 这在输入值的一定精度和范围内效果很好，但是一些有趣的现象，如孤子、混沌和奇异点被线性化隐藏了。

因此，非线性系统的动态行为的某些方面可能看起来是违反直觉的、不可预测的，甚至是混乱的。 尽管这种混乱行为可能类似于随机行为，但实际上并不是随机的。

例如，天气的某些方面看起来很混乱，系统某一部分的简单变化会产生复杂的影响。 这种非线性是当前技术不可能进行准确的长期预测的原因之一。

在数学中，线性映射（或线性函数） f ( x ) {displaystyle f(x)} 是满足以下两个属性的映射：

• 可加性或叠加原理：f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ； {displaystyle textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);}
• 均匀性：f ( α x ) = α f ( x ) 。 {displaystyle textstyle f(alpha x)=alpha f(x).}

可加性意味着任何有理数 α 的同质性，对于连续函数，也意味着任何实数 α 的同质性。 对于复数 α，可加性不符合同质性。 例如，非线性映射是可加的但不是齐次的。

一个等式写成

f ( x ) = C {displaystyle f(x)=C}

如果 f ( x ) {displaystyle f(x)} 是线性映射（如上定义），则称为线性映射，否则称为非线性映射。 如果 C = 0 {displaystyle C=0} ，则该方程称为齐次方程。

定义 f ( x ) = C {displaystyle f(x)=C} 非常普遍，因为 x {displaystyle x} 可以是任何合理的数学对象（数字、向量、函数等），并且 function f ( x ) {displaystyle f(x)} 字面上可以是任何映射，包括具有关联约束（例如边界值）的积分或微分。 如果 f ( x ) {displaystyle f(x)} 包含对 x {displaystyle x} 的微分，结果将是一个微分方程。

非线性代数方程，也称为多项式方程，是通过使多项式（次数大于一）等于零来定义的。 例如，

x 2 + x − 1 = 0 。 {displaystyle x{2}+x-1=0,.}

对于单个多项式方程，求根算法可用于找到方程的解（即，满足方程的变量的值集）。 然而，代数方程组更复杂； 他们的研究是代数几何领域的一个动机，代数几何是现代数学的一个困难分支。

甚至很难确定给定的代数系统是否具有复杂的解决方案。 然而，对于具有有限数量复数解的系统，这些多项式方程组现在已得到很好的理解，并且存在求解它们的有效方法。

非线性递归关系将序列的连续项定义为非线性函数。