亚当–威廉姆森方程

以 Leason H. Adams 和 E. D. Williamson 命名的亚当-威廉姆森方程是一个用于确定密度与半径函数的方程，更常用于确定地震波速度与地球密度之间的关系 的内部。 给定地球表面岩石的平均密度以及作为深度函数的 P 波和 S 波速度剖面，它可以预测密度如何随深度增加。 它假设压缩是绝热的，并且地球是球对称的、均匀的并且处于流体静力平衡状态。 它也可以应用于具有该属性的球壳。 它是初步参考地球模型（PREM）等地球内部模型的重要组成部分。

威廉姆森和亚当斯于 1923 年首先发展了该理论。他们得出结论，因此不可能仅根据压缩来解释地球的高密度。 致密的内部不可能由压缩成小体积的普通岩石组成； 因此，我们必须求助于xxx合理的选择，即存在一种更重的材料，大概是某种金属，根据其在地壳、陨石和太阳中的含量来判断，很可能是铁。

地震体波的两种类型是压缩波（P 波）和剪切波（S 波）。 两者的速度都由它们穿过的介质的弹性特性决定，特别是体积模量 K、剪切模量 μ 和密度 ρ。 就这些参数而言，纵波速度vp和横波速度vs分别为

v p = K + ( 4 / 3 ) μ ρ v s = μ ρ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}v_{p}&={\sqrt {\frac {K+(4/3)\mu }{\rho }}}\\v_{ s}&={\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}.\end{对齐}}}

这两个速度可以结合在一个地震参数中

(1)

体积模量的定义，

K = − V d P d V , {\displaystyle K=-V{\frac {dP}{dV}},}

相当于

(2)

假设一个距离地球中心 r 的区域可以被认为是处于流体静力平衡的流体，它受到地球下方部分的引力和上方部分的压力的作用。 还假设压缩是绝热的（因此热膨胀不会导致密度变化）。 压力 P(r) 随 r 变化为

(3)

其中 g(r) 是半径 r 处的重力加速度。

如果结合方程式 1,2 和 3，我们得到亚当-威廉姆森方程序：

d ρ d r = − ρ ( r ) g ( r ) Φ ( r ) 。 {\displaystyle {\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {\rho (r)g(r)}{\Phi (r)}}.}

这个方程可以积分得到

ln ⁡ ( ρ ρ 0 ) = − ∫ r 0 r g ( r ) Φ ( r ) d r , {\displaystyle \ln \left({\frac {\rho }{\rho _{0} }}\right)=-\int _{r_{0}}{r}{\frac {g(r)}{\Phi (r)}}dr,}

其中 r0 是地球表面的半径，ρ0 是表面的密度。 给定 ρ0 和 P 波和 S 波速度的分布，密度的径向依赖性可以通过数值积分来确定。