板理论

在连续介质力学中，板理论是借鉴梁理论对平板力学的数学描述。板被定义为与平面尺寸相比具有较小厚度的平面结构元件。板结构的典型厚宽比小于 0.1。板块理论利用这种长度尺度上的差异将完整的三维固体力学问题简化为二维问题。板理论的目的是计算板在载荷作用下的变形和应力。

在自 19 世纪后期以来发展起来的众多板块理论中，有两个被广泛接受并在工程中使用。这些都是

• Kirchhoff–Love 板块理论（经典板块理论）
• Uflyand-Mindlin 板理论（一阶剪切板理论）

注意：下面使用重复索引求和的爱因斯坦求和约定。

基尔霍夫-洛夫 ( Kirchhoff-Love ) 理论是欧拉-伯努利 ( Euler-Bernoulli ) 梁理论在薄板上的扩展。该理论是在 1888 年由 Love ( 洛夫 )使用基尔霍夫提出的假设发展起来的。假设可以使用中表面平面来表示二维形式的三维板。

该理论中做出了以下运动学假设：

• 垂直于中间面的直线在变形后保持笔直
• 变形后垂直于中面的直线保持垂直于中面
• 板的厚度在变形过程中不会改变。

基尔霍夫假设意味着位移场

其中 x 1 {displaystyle x_{1}} 和 x 2 {displaystyle x_{2}} 是未变形板中面的笛卡尔坐标，x 3 {displaystyle x_{3}} 是 厚度方向的坐标，u 1 0 , u 2 0 {displaystyle u_{1}{0},u_{2}{0}} 是中间表面的面内位移，w 0 { displaystyle w{0}} 是中面在 x 3 {displaystyle x_{3}} 方向上的位移。

如果 φ α {displaystyle varphi _{alpha }} 是中面法线的旋转角度，那么在基尔霍夫-洛夫理论中 φ α = w , α 0 。 {displaystyle varphi _{alpha }=w_{,alpha }{0},.}

对于板中应变无穷小且中面法线旋转小于 10° 的情况

因此，唯 一的非零应变是在面内方向。

如果中面法线的旋转在 10° 到 15° 的范围内，则可以使用 ( von Kármán ) 冯·卡门应变来近似应变-位移关系。然后基尔霍夫-洛夫理论的运动学假设导致以下应变-位移关系

由于应变-di 中的二次项，该理论是非线性的。