正则坐标

（了解如何以及何时删除此模板消息）

在数学和经典力学中，规范坐标是相空间上的一组坐标，可用于描述任何给定时间点的物理系统。 正则坐标用于经典力学的哈密顿公式。 一个密切相关的概念也出现在量子力学中； 有关详细信息，请参阅 Stone–von Neumann 定理和规范换向关系。

由于哈密顿力学通过辛几何得到推广，正则变换通过接触变换得到推广，因此 19 世纪经典力学中正则坐标的定义可以推广到 20 世纪更抽象的流形余切丛上的坐标定义（数学 相空间的概念）。

在经典力学中，正则坐标是相空间中的坐标 q i {displaystyle q{i}} 和 p i {displaystyle p_{i}} ，用于哈密顿形式。 规范坐标满足基本的泊松括号关系：

{ q i , q j } = 0 { p i , p j } = 0 { q i , p j } = δ i j {displaystyle left{q{i},q{j}right}=0 qquad left{p_{i},p_{j}right}=0qquad left{q{i},p_{j}right}= 三角洲_{ij}}

规范坐标的一个典型例子是 q i {displaystyle q{i}} 是通常的笛卡尔坐标，而 p i {displaystyle p_{i}} 是动量的分量。 因此一般来说， p i {displaystyle p_{i}} 坐标被称为共轭动量。

正则坐标可以从拉格朗日形式的广义坐标通过勒让德变换得到，或者从另一组正则坐标通过正则变换得到。

正则坐标被定义为流形余切丛上的一组特殊坐标。 它们通常写成一组 ( q i , p j ) {displaystyle left(q{i},p_{j}right)} 或 ( x i , p j ) {displaystyle left(x {i},p_{j}right)} 其中 x's 或 q's 表示基础流形上的坐标，p's 表示共轭动量，它们是流形中点 q 处的余切丛中的 1-形式。

正则坐标的一个常见定义是余切丛上的任何一组坐标，它允许正则单形式写成以下形式

∑ i p i d q i {displaystyle sum _{i}p_{i},mathrm {d} q{i}}

直至全差。 保留这种形式的坐标变化是规范变换； 这些是辛同胚的特例，本质上是辛流形上坐标的变化。

在下面的说明中，我们假设流形是实流形，因此作用于切向量的余切向量产生实数。

给定流形 Q，Q（切丛 TQ 的一部分）上的矢量场 X 可以被认为是作用于余切丛的函数，通过切线空间和余切空间之间的对偶性。 即定义一个函数

P X : T ∗ Q → R {displaystyle P_{X}:T{*}Qto mathbb {R} }

这样

P X ( q , p ) = p ( X q ) {displaystyle P_{X}(q,p)=p(X_{q})}

对 T q ∗ Q {displaystyle T_{q}{*}Q} 中的所有余切向量 p 成立。 这里，X q {displaystyle X_{q}} 是 T q Q {displaystyle T_{q}Q} 中的一个向量，流形 Q 在点 q 的切空间。 函数 P X {displaystyle P_{X}} 称为对应于 X 的动量函数。

在局部坐标系中，点 q 处的矢量场 X 可写为

X q = ∑ i X i ( q ) ∂ ∂ q i {displaystyle X_{q}=sum _{i}X{i}(q){frac {partial }{partial q {一世}}}}

其中 ∂ / ∂ q i {displaystyle partial /partial q{i}} 是 TQ 上的坐标系。 共轭动量则有表达式

P X ( q , p ) = ∑ i X i ( q ) p i {displaystyle P_{X}(q,p)=sum _{i}X{i}(q);p_{i} }

其中 p i {displaystyle p_{i}} 被定义为对应于向量 ∂ / ∂ q i {displaystyle partial /partial q{i}} 的动量函数：

p i = P ∂ / ∂ q i {displaystyle p_{i}=P_{partial /partial q{i}}}

q i {displaystyle q{i}} 与 p j {displaystyle p_{j}} 共同构成余切丛 T ∗ Q {displaystyle T{*}Q} 上的坐标系； 这些坐标称为规范坐标。

在拉格朗日力学中，使用了一组不同的坐标，称为广义坐标。 这些通常表示为 ( q i , q ˙ i ) {displaystyle left(q{i},{dot {q}}{i}right)} 其中 q i {displaystyle q{i }} 称为广义位置和 q ˙ i {displaystyle {dot {q}}{i}} 广义速度。 当在余切丛上定义哈密顿量时，广义坐标通过 Hamilton–Jacobi 方程与规范坐标相关联。