杜哈梅原理

在数学中，更具体地说，在偏微分方程中，杜哈梅原理是获得热方程、波动方程和振动板方程等非齐次线性演化方程解的通用方法。 该方程模拟了从下方加热的薄板中的热分布。 对于没有空间依赖性的线性演化方程，例如谐振子，杜哈梅原理简化为求解线性非齐次常微分方程的变分法技术。 它也是研究非线性偏微分方程不可或缺的工具

杜哈梅原理背后的哲学是，从柯西问题（或初始值问题）的解到非齐次问题的解是可能的。 例如，考虑对热能 u 在 Rn 中的分布建模的热方程示例。

直观上，可以将非齐次问题视为一组齐次问题，每个问题都在不同的时间片 t = t0 重新开始。 通过线性，可以将通过时间 t0 得到的解相加（积分）并获得非齐次问题的解。 这就是杜哈梅原理的精髓。

杜哈梅原理也适用于线性系统（具有向量值函数 u），这反过来又提供了对更高 t 导数的推广，例如波动方程中出现的导数。 该原理的有效性取决于能够在适当的函数空间中解决齐次问题，并且该解决方案应表现出对参数的合理依赖性，以便积分是明确定义的。 u 和 f 的精确分析条件取决于特定应用。

线性波动方程根据对时间 t 和空间 x 的导数对理想化无色散一维弦的位移 u 进行建模：

∂ 2 u ∂ t 2 − c 2 ∂ 2 u ∂ x 2 = f ( x , t ) 。

函数 f (x, t)，以自然单位表示，表示在位置 (x, t) 处施加在弦上的外力。 为了成为适合自然界的物理模型，应该可以针对弦所处的任何初始状态对其进行求解，由其初始位移和速度指定：

u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) , ∂ u ∂ t ( x , 0 ) = v 0 ( x ) 。