群速度

对于表面重力波，在大多数情况下，水粒子速度远小于相速度。

波的群速度是波振幅的整体包络形状在空间中传播的速度。

例如，如果将一块石头扔到一个非常静止的池塘中央，水中就会出现一个具有静止中心的圆形波浪模式，也称为毛细管波浪。 扩大的波环是波群，在其中可以辨别出比整个波群传播速度更快的单个波。 单个波的振幅在它们从组的后缘出现时增大，在接近组的前缘时减小。

群速度 vg 由下式定义：

v g ≡ ∂ ω ∂ k

其中ω是波的角频率（通常以弧度每秒表示），k是角波数（通常以弧度每米表示）。 相速度为：vp = ω/k。

函数 ω(k) 给出 ω 作为 k 的函数，称为色散关系。

• 如果 ω 与 k 成正比，则群速度正好等于相速度。 任何形状的波都将以该速度传播而不会失真。
• 如果 ω 是 k 的线性函数，但不成正比 (ω = ak + b)，则群速度和相速度不同。 波包的包络将以群速度传播，而包络内的各个波峰和波谷将以相速度移动。
• 如果 ω 不是 k 的线性函数，则波包的包络在传播时会变得扭曲。 由于波包包含一系列不同的频率（因此 k 值不同），因此对于不同的 k 值，群速度 ∂ω/∂k 将不同。 因此，包络不是以单一速度移动，而是其波数分量 (k) 以不同速度移动，从而扭曲了包络。 如果波包的频率范围很窄，并且 ω(k) 在该窄范围内近似呈线性，则与小非线性相关的脉冲失真会很小。 请参阅下面的进一步讨论。 例如，对于深水重力波，ω = g k ，因此 vg = vp /2。 这是所有船只和游泳物体的船首波的开尔文尾迹模式的基础。 无论它们移动多快，只要它们的速度恒定，尾流在每一侧与行进线形成 19.47° = arcsin(1/3) 的角度。

群速度公式的一种推导如下。

将波包视为位置 x 和时间 t 的函数：α(x,t)。

令 A(k) 为其在时间 t = 0 时的傅里叶变换，

α ( x , 0 ) = ∫ − ∞ ∞ d k A ( k ) e i k x 。

根据叠加原理，任意时刻t的波包为

α ( x , t ) = ∫ − ∞ ∞ d k A ( k ) e i ( k x − ω t )

其中 ω 是 k 的隐式函数。

假设波包 α 几乎是单色的，因此 A(k) 在中心波数 k0 附近出现尖峰。

然后，线性化给出

ω ( k ) ≈ ω 0 + ( k − k 0 ) ω 0 ′

这个表达式有两个因素。 xxx个因子 e i ( k 0 x − ω 0 t )

描述了一个完美的单色 波矢为 k0 的波，波峰和波谷在波包的包络内以相速度 ω 0 / k 0  移动。

给出波包的包络. 这个包络函数仅通过组合 ( x − ω 0 ′ t )  依赖于位置和时间。

因此，波包的包络以速度传播

ω 0 ′ = d ω d k | k = k 0