平行轴定理

平行轴定理，也称为惠更斯-斯坦纳定理，或简称为斯坦纳定理，以克里斯蒂安·惠更斯和雅各布·斯坦纳命名，可用于确定刚体的惯性矩或面积二次矩 任何轴，给定身体关于通过物体重心的平行轴的惯性矩和轴之间的垂直距离。

假设质量为 m 的物体绕通过物体质心的轴 z 旋转。 物体相对于该轴具有惯性矩 Icm。 平行轴定理指出，如果使物体绕新轴 z′ 旋转，该新轴平行于xxx轴并从xxx轴偏移距离 d，则相对于新轴的惯性矩 I 为 与 Icm 有关

I = I c m + m d 2 。 {\displaystyle I=I_{\mathrm {cm} }+md{2}.}

明确地，d 是轴 z 和 z' 之间的垂直距离。

平行轴定理可以与拉伸规则和垂直轴定理一起应用，以求出各种形状的惯性矩。

我们可以假设，在不失一般性的情况下，在笛卡尔坐标系中，轴之间的垂直距离位于 x 轴上，并且质心位于原点。

xxx项是 Icm，第二项是 mD2。 最后一项中的积分是质心 x 坐标的倍数——由于质心位于原点，因此为零。

平行轴定理可以推广到涉及惯性张量的计算。 令 Iij 表示在质心处计算的物体惯性张量。 那么相对于新点计算的惯性张量

其中 R = R 1 x ^ + R 2 y ^ + R 3 z ^ {\displaystyle \mathbf {R} =R_{1}\mathbf {\hat {x}} +R_{2}\ mathbf {\hat {y}} +R_{3}\mathbf {\hat {z}} \!} 是从质心到新点的位移矢量，δij 是 Kronecker delta。

对于对角元素（当 i = j 时），垂直于旋转轴的位移导致上述平行轴定理的简化版本。

平行轴定理的广义版本可以用无坐标符号的形式

其中 E3 是 3 × 3 单位矩阵，⊗ {\displaystyle \otimes } 是外积。

平行轴定理的进一步推广给出了关于平行于轴 x、y 和 z 的参考集的任何一组正交轴的惯性张量，与参考惯性张量相关联，无论它们是否通过质心。

平行轴规则也适用于平面区域 D 的二次面积矩（面积惯性矩）

其中Iz是D相对于平行轴的面积惯性矩，Ix是D相对于其质心的面积惯性矩，A是平面区域D的面积，r是到新轴z的距离 到平面区域D的质心。D的质心与具有相同形状且密度均匀的物理板的重心重合。

被约束平行于平面移动的刚体的质量属性由其在该平面中的质心 R = (x, y) 及其围绕通过 R 的轴的极惯性矩 IR 定义，该轴垂直于 飞机。 平行轴定理提供了关于任意点 S 的惯性矩 IS 和关于质心 R 的惯性矩 IR 之间的方便关系。