虚功

在力学中，虚功出现在将最小作用原理应用于研究机械系统的力和运动时。 当粒子沿位移运动时，作用在粒子上的力的功对于不同的位移是不同的。 在一个粒子可能遵循的所有可能位移（称为虚拟位移）中，一个将最小化该动作。 因此，根据最小作用原理，该位移是粒子遵循的位移。

力沿虚位移对粒子所做的功称为虚功。

历史上，虚功和相关的变分法被制定用于分析刚体系统，但它们也被开发用于研究变形体的力学。

自古以来，虚功原理一直以某种形式用于静力学研究。 它被希腊人、中世纪的阿拉伯人和拉丁人以及文艺复兴时期的意大利人用作xxx定律。 在解决静力学问题时，许多 17 世纪著名的物理学家，如伽利略、笛卡尔、托里切利、沃利斯和惠更斯，都以不同程度的普遍性引用了虚功的概念。 约翰·伯努利 (Johann Bernoulli) 使用莱布尼茨的概念系统化了虚功原理，并明确了无穷小位移的概念。 他能够解决刚体和流体的问题。 伯努利版本的虚功定律出现在他 1715 年写给皮埃尔·瓦里尼翁的信中，该信后来于 1725 年发表在瓦里尼翁的第二卷 Nouvelle mécanique ou Statique 中。这个原理的表述今天被称为原理 虚拟速度，通常被认为是当代虚拟工作原理的原型。 1743 年，D'Alembert 发表了他的 Traité de Dynamique，他在伯努利工作的基础上应用虚功原理来解决动力学中的各种问题。 他的想法是通过引入惯性力将动力学问题转化为静态问题。 1768年，拉格朗日通过引入广义坐标以更有效的形式提出了虚功原理，并将其作为力学的替代原理提出，可以解决所有平衡问题。 拉格朗日在他 1788 年的《力学分析》中给出了系统地阐述了将这种方法应用于所有力学（包括静态和动态）的程序，主要是达朗贝尔的原理。尽管拉格朗日提出了他的最少版本 在这项工作之前，他认识到虚功原理更基本，主要是因为它可以单独假设为所有力学的基础，这与现代理解最小作用不考虑非保守力不同。

如果一个力作用在一个粒子上，因为它从点 A {displaystyle A} 移动到点 B {displaystyle B} ，那么，对于粒子可能采取的每条可能轨迹，都可以计算完成的总功 沿路径的力。 虚功原理，即应用于这些系统的最小作用原理的形式，指出粒子实际遵循的路径是沿该路径与其他附近路径的功之间的差异为零的路径（ 到xxx个订单）。 计算在附近路径上评估的函数差异的正式程序是微分学已知导数的推广，称为变分法。