霍普夫分岔

在分岔的数学理论中，霍普夫分岔是系统稳定性切换和周期解出现的临界点。 更准确地说，它是一个局部分岔，其中动力系统的不动点失去稳定性，因为一对复共轭特征值——围绕不动点的线性化——穿过复平面虚轴。 在关于动力系统的合理一般假设下，小振幅极限环从固定点分支。

如果称为xxx李雅普诺夫系数的特定量为负，则极限环是轨道稳定的，并且分岔是超临界的。 否则它是不稳定的并且分叉是亚临界的。

霍普夫分岐的正常形式是：

d z d t = z ( ( λ + i ) + b | z | 2 )其中 z, b 都是复数，λ 是一个参数。

写成：b = α + i β 。 数字 α 称为xxx李雅普诺夫系数。

• 如果 α 为负，则 λ > > 存在稳定的极限环 0:

z ( t ) = r e i ω t

如果 α 为正，则 λ < 时存在不稳定的极限环 0. 分岔称为亚临界。

超临界霍普夫分岐的范式可以用极坐标直观地表示，

d r d t = ( μ − r 2 ) r , d θ d t = ω

其中 r ( t ) 是振荡的瞬时振幅，而 θ ( t ) 是它的瞬时角位置。 角速度 ( ω ) 是固定的。 当 μ > 0 ， r ( t ) 的微分方程在 r = 0 处有一个不稳定的不动点和一个稳定的 固定点在 r = μ 。 因此，该系统描述了一个稳定的圆形极限环，其半径为 μ 和角速度 ω。 当 μ < 0 {\displaystyle \mu <0} 那么 r = 0 是xxx不动点并且是稳定的。 在那种情况下，系统描述了一个会聚到原点的螺旋线。

次临界 Hopf 的正规形式是通过取反 d r / d t {\displaystyle dr/dt} 的符号得到的，

d r d t = − ( μ − r 2 ) r , d θ d t = ω

这反转了 r ( t ) 中不动点的稳定性。 对于 μ > 0 极限环现在不稳定，原点稳定。

霍普夫分裂出现在捕食者-猎物相互作用、神经膜电位的模型、糖酵解的 模型、经典电磁学。 霍普夫分裂也被证明发生在裂变波中。

塞尔科夫模型是

d x d t = − x + a y + x 2 y , d y d t = b − a y − x 2 y 。

显示了 Selkov 模型中霍普夫分岐的相图。

在铁路车辆系统中，霍普夫分岐分析尤为重要。