多卷波混沌吸引子

在动力系统的数学中，双滚动吸引子（有时称为 Chua 的吸引子）是从具有单个非线性电阻的物理电子混沌电路（通常为 Chua 的电路）观察到的奇异吸引子（见 Chua 的二极管）。 双涡旋系统通常由三个非线性常微分方程和一个三段分段线性方程组成的系统来描述（见 Chua 方程）。 由于 Chua 的电路设计简单，这使得系统很容易进行数值模拟和物理显示。

使用 Chua 电路，可以使用电路的 X、Y 和 Z 输出信号在示波器上查看此形状。 这种混沌吸引子因其在三维空间中的形状类似于两个土星环，由漩涡状的线条相连，因此被称为双卷轴。

吸引子首先在模拟中被观察到，然后在 Leon Chua 发明了后来被称为 Chua 电路的自治混沌电路后在物理上实现了。 通过 3 维状态空间的特征向量的组合明确导出的吸引子的多个 Poincaré 返回图，严格证明了来自 Chua 电路的双滚动吸引子是混沌的。

双涡旋吸引子的数值分析表明，其几何结构由无数个类似分形的层组成。 每个横截面在所有尺度下看起来都是一个分形。 最近，也有报道称在双卷轴中发现了隐藏的吸引子。

1999年陈关荣和上田提出了另一种双卷轴混沌吸引子，称为陈系统或陈吸引子。

Chen系统定义如下

d x ( t ) d t = a ( y ( t ) − x ( t ) ) {\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=a(y(t)-x(t))}

d y ( t ) d t = ( c − a ) x ( t ) − x ( t ) z ( t ) + c y ( t ) {\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=(c-a )x(t)-x(t)z(t)+cy(t)}

d z ( t ) d t = x ( t ) y ( t ) − b z ( t ) {\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=x(t)y(t)-bz(t )}

Chen 吸引子的绘图可以用 Runge-Kutta 方法获得：

参数：a = 40，c = 28，b = 3

初始条件：x(0) = -0.1，y(0) = 0.5，z(0) = -0.6

多卷波混沌吸引子也称为n-scroll吸引子，包括Lu Chen吸引子、修正的Chen混沌吸引子、PWL Duffing吸引子、Rabinovich Fabrikant吸引子、修正的Chua混沌吸引子，即单个吸引子中的多个卷轴。

Jinhu Lu (吕金虎) 和 Guanrong Chen 提出了具有多卷轴的扩展 Chen 系统

陆辰系统方程

d x ( t ) d t = a ( y ( t ) − x ( t ) ) {\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=a(y(t)-x(t))}

d y ( t ) d t = x ( t ) − x ( t ) z ( t ) + c y ( t ) + u {\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=x(t)- x(t)z(t)+cy(t)+u}

d z ( t ) d t = x ( t ) y ( t ) − b z ( t ) {\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=x(t)y(t)-bz(t )}

参数：a = 36, c = 20, b = 3, u = -15.15

初始条件：x(0) = .1, y(0) = .3, z(0) = -.6

系统方程：

d x ( t ) d t = a ( y ( t ) − x ( t ) ) , {\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=a(y(t)-x(t)) ,}

d y ( t ) d t = ( c − a ) x ( t ) − x ( t ) f + c y ( t ) , {\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=(c-a)x (t)-x(t)f+cy(t),}

d z ( t ) d t = x ( t ) y ( t ) − b z ( t ) {\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=x(t)y(t)-bz(t )}

其中

f = d 0 z ( t ) + d 1 z ( t − τ ) − d 2 sin ⁡ ( z ( t − τ ) ) {\displaystyle f=d0z(t)+d1z(t-\tau )- d2\sin(z(t-\tau ))}

参数：= a = 35，c = 28，b = 3，d0 = 1，d1 = 1，d2 = -20..20，tau = .2

initv := x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 14

2001 年，唐等人。 提出了一种改进的 Chua 混沌系统

d x ( t ) d t = α ( y ( t ) − h ) {\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=\alpha (y(t)-h)}

d y ( t ) d t = x ( t ) − y ( t ) + z ( t ) {\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=x(t)-y(t)+z (t)}

d z ( t ) d t = − β y ( t ) {\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=-\beta y(t)}

其中

h := − b sin ⁡ ( π x ( t ) 2 a + d ) {\displaystyle h:=-b\sin \left({\frac {\pi x(t)}{2a} }+d\右）}

参数：= alpha = 10.82，beta = 14.286，a = 1.3，b = .11，c = 7，d = 0

initv := x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 0

Aziz Alaoui 在 2000 年研究了 PWL Duffing 方程：

PWL 达芬系统：

d x ( t ) d t = y ( t ) {\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=y(t)}

d y ( t ) d t = − m 1 x ( t ) − ( 1 / 2 ( m 0 − m 1 ) ) ( | x ( t ) + 1 | − | x ( t ) − 1 | ) − e y ( t ) + γ cos ⁡ ( ω t ) {\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=-m_{1}x(t)-(1/2(m_{0}-m_{1 }))(|x(t)+1|-|x(t)-1|)-ey(t)+\gamma \cos(\omega t)}

params := e = .25, gamma = .14+(1/20)i, m0 = -0.845e-1, m1 = .66, omega = 1; c := (.14+(1/20)i)，i=-25...25;

initv := x(0) = 0, y(0) = 0;

米兰达 Stone 提出了一个改进的 Lorenz 系统：

d x ( t ) d t = 1 / 3 * ( − ( a + 1 )