洛伦茨吸引子

洛伦茨吸引子是数学家和气象学家爱德华洛伦兹首先研究的常微分方程组。 值得注意的是对于某些参数值和初始条件具有混沌解决方案。 特别地，洛伦兹吸引子是洛伦茨吸引子的一组混沌解。 在流行媒体中，蝴蝶效应源于洛伦兹吸引子对现实世界的影响，即在一个混沌的物理系统中，在缺乏对初始条件的完美了解的情况下（即使是由于蝴蝶拍打它而导致的空气微小扰动） 翅膀），我们预测其未来路线的能力总是会失败。 这强调了物理系统可以是完全确定的，但本质上仍然是不可预测的。 当绘制在相空间中时，洛伦兹吸引子本身的形状也可能看起来像一只蝴蝶。

这些方程涉及从下方均匀加热并从上方均匀冷却的二维流体层的特性。 特别是，方程描述了三个量相对于时间的变化率：x 与对流率成正比，y 与水平温度变化成正比，z 与垂直温度变化成正比。 常数 σ、ρ 和 β 是与普朗特数、瑞利数和层本身的某些物理尺寸成比例的系统参数。

洛伦兹方程可以出现在激光、发电机、热虹吸管、无刷直流电机、电路、化学反应和正向渗透的简化模型中。 洛伦兹方程也是马尔库斯水车在傅立叶空间中的控制方程。 Malkus 水车表现出混沌运动，它不是以恒定速度在一个方向上旋转，而是会加速、减速、停止、改变方向，并以不可预测的方式在这些行为的组合之间来回摆动。

从技术的角度来看，洛伦茨吸引子是非线性的、非周期性的、三维的和确定性的。 洛伦兹方程已成为数百篇研究文章和至少一本书长度研究的主题。

人们通常假设参数 σ、ρ 和 β 为正。 Lorenz 使用值 σ = 10、β = 8/3 和 ρ = 28。对于这些（和附近的）值，系统表现出混沌行为。

如果 ρ < 1 则只有一个平衡点，即原点。 这一点对应于没有对流。 当 ρ < 时，所有轨道都收敛于原点，原点是一个全局吸引子。 1. 干草叉分叉发生在 ρ = 1 处，并且对于 ρ > ; 1 两个额外的临界点出现在

这些对应于稳定的对流。 这对平衡点是稳定的，只有当

如果 σ >; 它只能对正 ρ 成立 β + 1。在临界值处，两个平衡点都通过亚临界 Hopf 分岔失去稳定性。

当 ρ = 28、σ = 10 和 β = 8/3 时，洛伦茨吸引子具有混沌解（但并非所有解都是混沌的）。 几乎所有的初始点都会趋向于一个不变的集合——洛伦兹吸引子——一个奇异吸引子、一个分形和一个关于所有三个平衡的自激吸引子。 其Hausdorff维数由上面的Lyapunov维数（Kaplan-Yorke维数）估计为2.06±0.01，相关维数估计为2.05±0.01。全局吸引子的精确Lyapunov维数公式可以在经典约束下解析得到

洛伦兹吸引子很难分析，但是微分方程对吸引子的作用可以用一个相当简单的几何模型来描述。