遍历理论

遍历理论是数学的一个分支，研究确定性动力系统的统计特性； 这是对遍历性的研究。 在这种情况下，统计特性是指通过各种函数沿动力系统轨迹的时间平均值的行为来表达的特性。 确定性动力系统的概念假设决定动力学的方程不包含任何随机扰动、噪声等。因此，我们关注的统计是动力学的属性。

遍历理论与概率论一样，基于测度论的一般概念。 它最初的发展是受统计物理学问题的推动。

遍历理论的一个核心关注点是动力系统在允许长时间运行时的行为。 这个方向的xxx个结果是庞加莱递归定理，它声称相空间的任何子集中的几乎所有点最终都会重新访问该集合。 庞加莱递归定理成立的系统是保守系统； 因此所有遍历系统都是保守的。

各种遍历定理提供了更精确的信息，这些定理断言，在某些条件下，函数沿轨迹的时间平均几乎无处不在，并且与空间平均有关。 对于特殊类的遍历系统，这个时间平均值对于几乎所有的初始点都是相同的：从统计学上讲，演化时间长的系统会忘记它的初始状态。 更强的特性，例如混合和均匀分布，也得到了广泛的研究。

系统的度量分类问题是抽象遍历理论的另一个重要组成部分。 动力系统的各种熵概念在遍历理论及其在随机过程中的应用中发挥了突出作用。

遍历性和遍历假设的概念是遍历理论应用的核心。 基本思想是，对于某些系统，其属性的时间平均值等于整个空间的平均值。 遍历理论在数学其他部分的应用通常涉及为特殊类型的系统建立遍历性属性。 马尔可夫链形成了概率论应用的共同背景。 遍历理论与调和分析、李论（表示论、代数群中的格）和数论（丢番图近似理论、L 函数）有着卓有成效的联系。

遍历理论经常关注遍历变换。 这种作用于给定集合的转换背后的直觉是，它们彻底地搅动了该集合的元素。 例如。 如果集合是碗中的一定量的热燕麦片，并且如果将一勺糖浆放入碗中，则燕麦片的遍历变换的逆迭代将不允许糖浆保留在碗中的局部子区域中 燕麦片，但会使糖浆均匀分布。 同时，这些迭代不会压缩或膨胀燕麦片的任何部分：它们保留了密度度量。

正式定义如下：

设 T : X → X 是测度空间 (X, Σ, μ) 上的保测变换，其中 μ(X) = 1。如果对于 Σ 中的每个 E 具有 μ(T−1(E ) Δ E) = 0，μ(E) = 0 或 μ(E) = 1。

这里的算子Δ是集合的对称差分，相当于集合隶属度的异或运算。 对称差为零测度的条件称为本质不变。

• 圆 R/Z、T 的无理旋转：x → x + θ，其中 θ 是无理数，是遍历的。 这种变换具有更强的独特遍历性、极小性和均匀分布的特性。 相比之下，如果 θ = p/q 是有理数（最低限度），则 T 是周期性的，周期为 q，因此不能是遍历的：对于长度为 a 的任何区间 I，0 < ; 一个< 1/q，它在 T 下的轨道（即 I, T(I), ..., Tq−1(I) 的并集，其中包含 I 在任意数量的 T 应用下的图像）是一个 T -不变模 0 集，它是长度为 a 的 q 个区间的并集，因此它的测度 qa 严格介于 0 和 1 之间。
• 设 G 是紧阿贝尔群，μ 是归一化 Haar 测度，T 是 G 的群自同构。设 G* 是 Pontryagin 对偶群，由 G 的连续特征组成，T* 是对应的伴随自同构 G *。 自同构 T 是遍历的当且仅当等式 (T*)n