稳定性理论

在数学中，稳定性理论解决微分方程解的稳定性和动力系统轨迹在初始条件的小扰动下的稳定性。 例如，热方程是一个稳定的偏微分方程，因为根据xxx原理，初始数据的微小扰动会导致稍后温度的微小变化。 在偏微分方程中，可以使用 Lp 范数或 sup 范数来测量函数之间的距离，而在微分几何中，可以使用 Gromov–Hausdorff 距离来测量空间之间的距离。

在动力系统中，如果任何点的前向轨道位于足够小的邻域内或保持在较小（但可能更大）的邻域内，则轨道称为李雅普诺夫稳定轨道。 已经制定了各种标准来证明轨道的稳定性或不稳定性。 在有利的情况下，该问题可以简化为涉及矩阵特征值的经过充分研究的问题。 更一般的方法涉及李雅普诺夫函数。 在实践中，应用了许多不同的稳定性标准中的任何一种。

微分方程和动力系统的定性理论的许多部分都涉及解和轨迹的渐近特性——经过很长一段时间后系统会发生什么。 最简单的一种行为是由平衡点或固定点以及周期性轨道表现出来的。 如果一个特定的轨道得到很好的理解，接下来很自然地会问初始条件的微小变化是否会导致类似的行为。 定性理论解决了以下问题：附近的轨道会无限期地靠近给定轨道吗？ 它会收敛到给定的轨道吗？ 在前一种情况下，轨道被称为稳定的； 在后一种情况下，它被称为渐近稳定并且给定轨道被称为吸引。

稳定性意味着轨迹在小的扰动下不会改变太多。 相反的情况，附近的轨道被给定轨道排斥，也很有趣。 通常，在某些方向上扰动初始状态会导致轨迹渐近地接近给定状态，而在其他方向上会导致轨迹逐渐远离给定状态。 也可能有扰动轨道的行为更复杂的方向（既不完全收敛也不完全逃逸），然后稳定性理论没有提供足够的动力学信息。

稳定性理论的一个关键思想是，可以使用轨道附近系统的线性化来分析扰动下轨道的定性行为。 特别是，在具有 n 维相空间的光滑动力系统的每个平衡点，都有一个特定的 n×n 矩阵 A，其特征值表征附近点的行为（Hartman-Grobman 定理）。 更准确地说，如果所有特征值都是负实数或实部为负的复数，则该点是稳定的吸引不动点，并且附近的点以指数速率收敛到它，参见李亚普诺夫稳定性和指数稳定性。 如果没有一个特征值是纯虚数（或零），则吸引和排斥方向与矩阵 A 的特征空间相关，特征值的实部分别为负和正。 对于更复杂的轨道的扰动，类似的陈述是众所周知的。

最简单的轨道类型是固定点或平衡点。 如果一个机械系统处于稳定的平衡状态，那么一个小的推动将导致局部运动，例如，像钟摆一样的小振荡。 在具有阻尼的系统中，稳定的平衡状态是渐近稳定的。 另一方面，对于一个不稳定的平衡，比如一个球停在一个 h 的顶部。