玻尔兹曼方程

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奥尔茨曼方程或玻尔兹曼输运方程(BTE)描述了不处于平衡状态的热力学系统的统计行为,由路德维希·玻尔兹曼于1872年设计。此类系统的经典示例是在空间中具有温度梯度的流体通过构成该流体的粒子的随机但有偏向的传输,导致热量从较热的区域流向较冷的区域。在现代文学中,萨尔茨曼方程一词通常在更一般的意义上使用,指的是描述热力学系统中宏观量(如能量、电荷或粒子数)变化的任何动力学方程。 该方程不是通过分析流体...

玻尔兹曼方程

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奥尔茨曼方程或玻尔兹曼输运方程 (BTE) 描述了不处于平衡状态的力学系统的统计行为,由路德维希·玻尔兹曼于 1872 年设计。此类系统的经典示例是在空间中具有温度梯度的流体 通过构成该流体的粒子的随机但有偏向的传输,导致热量从较热的区域流向较冷的区域。 在现代文学中,萨尔茨曼方程一词通常在更一般的意义上使用,指的是描述热力学系统中宏观量(如能量电荷粒子数)变化的任何动力学方程。

该方程不是通过分析流体中每个粒子的各个位置动量而产生的,而是通过考虑典型粒子的位置和动量的概率分布——即粒子占据给定的非常小的空间区域的概率 (数学上体积元素 d 3 r {displaystyle d{3}mathbf {r} } )以位置 r {displaystyle mathbf {r} } 为中心,动量几乎等于给定的动量 向量 p {displaystyle mathbf {p} }(因此占据动量空间 d 3 p {displaystyle d{3}mathbf {p} } 的一个非常小的区域),在一个瞬间

格尔兹曼方程可用于确定流体在传输过程中物理量的变化情况,例如热能和动量。 人们还可以推导出流体的其他特性,例如粘度、热导率和电导率(通过将材料中的电荷载流子视为气体)。 另见对流扩散方程。

该方程为非线性积分微分方程,方程中的未知函数为粒子位置和动量在六维空间中的概率密度函数。 解决方案的存在性和xxx性问题仍未完全解决,但最近的一些结果非常有希望。

概览

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相空间和密度函数

所有可能位置 r 和动量 p 的集合称为系统的相空间; 换句话说,每个位置坐标 x、y、z 的一组三个坐标,每个动量分量 px、py、pz 的三个坐标。 整个空间是6维的:这个空间中的一个点是(r, p) = (x, y, z, px, py, pz),每个坐标由时间t参数化。 小体积(微分体积元素)写作 d 3 r d 3 p = d x d y d z d p x d p y d p z 。

由于 N 个分子的概率都在 d 3 r d 3 p {displaystyle d{3}mathbf {r} ,d{3}mathbf {p} } 内,所以在 问题,方程的核心是一个量 f,它给出了在时刻 t 的每单位相空间体积的概率,或每单位长度的立方每单位动量立方的概率。 这是一个概率密度函数:f(r, p, t),定义为 d N = f ( r , p , t ) d 3 r d 3 p {displaystyle dN=f(mathbf {r} ,mathbf {p} ,t),d{3}mathbf {r} ,d{3}mathbf {p} } 是所有位置都位于体积内的分子数 元素 d 3 r {displaystyle d{3}mathbf {r} } 关于 r 和位于动量空间内的动量元素 d 3 p {displaystyle d{3}mathbf {p} } 关于 p, 在时间 t。 对位置空间和动量空间的区域进行积分,得出在该区域中具有位置和动量的粒子总数:

这是一个 6 重积分。 虽然 f 与许多粒子相关联,但相空间适用于单粒子(不是所有粒子,这通常是确定性多体系统的情况),因为只有一个 r 和 p 是有问题的。 使用 r1、p1 表示粒子 1、r2、p2 表示粒子 2 等,直至 rN、pN 表示粒子 N 不属于分析范围。

玻尔兹曼方程

假设系统中的粒子是相同的(因此每个粒子都具有相同的质量 m)。 对于一种以上化学物质的混合物,每种物质都需要一种分布。

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  1. 玻尔兹曼方程
  2. 概览
  3. 相空间和密度函数

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