叠加原理

叠加原理，也称为叠加特性，指出对于所有线性系统，由两个或多个刺激引起的净响应是每个刺激单独引起的响应的总和。 因此，如果输入 A 产生响应 X，输入 B 产生响应 Y，则输入 (A + B) 产生响应 (X + Y)。

满足叠加原理的函数 F ( x ) {displaystyle F(x)} 称为线性函数。 叠加可以通过两个更简单的属性来定义

这个原理在物理学和工程学中有很多应用，因为许多物理系统都可以建模为线性系统。 例如，可以将梁建模为线性系统，其中输入激励是梁上的负载，输出响应是梁的偏转。 线性系统的重要性在于它们更容易进行数学分析； 有大量适用的数学技术、频域线性变换方法（如傅里叶变换和拉普拉斯变换）以及线性算子理论。 因为物理系统通常只是近似线性的，所以叠加原理只是对真实物理行为的近似。

叠加原理适用于任何线性系统，包括代数方程、线性微分方程和这些形式的方程组。 刺激和响应可以是数字、函数、向量、向量场、时变信号或满足特定公理的任何其他对象。 请注意，当涉及向量或向量场时，叠加被解释为向量和。 如果叠加成立，那么它也自动适用于应用于这些函数的所有线性运算（由于定义），例如梯度、微分或积分（如果它们存在）。

superposition 一词源自拉丁语 super，意思是上面，position 意思是地方。

通过编写一个非常一般的刺激（在线性系统中）作为特定和简单形式的刺激的叠加，通常响应变得更容易计算。

例如，在傅里叶分析中，刺激被写成无限多个正弦曲线的叠加。 由于叠加原理，这些正弦波中的每一个都可以单独分析，并且可以计算其单独的响应。 （响应本身是一个正弦波，与刺激具有相同的频率，但幅度和相位通常不同。）根据叠加原理，对原始刺激的响应是所有单个正弦响应的总和（或积分） .

再举一个常见的例子，在格林的函数分析中，刺激被写成无穷多个脉冲函数的叠加，而响应则是脉冲响应的叠加。

傅立叶分析对于波特别常见。 例如，在电磁理论中，普通光被描述为平面波（具有固定频率、偏振和方向的波）的叠加。 只要叠加原理成立（通常但并非总是如此；参见非线性光学），任何光波的行为都可以理解为这些更简单的平面波行为的叠加。

波通常由某些参数在空间和时间上的变化来描述——例如，水波中的高度、声波中的压力或光波中的电磁场。 该参数的值称为波的振幅，波本身是指定每个点振幅的函数。

在任何有波的系统中，给定时间的波形是源（即产生或影响波的外力，如果有的话）和系统初始条件的函数。 在许多情况下（例如，在经典波动方程中），描述波动的方程是线性的。 当这是真的时，可以应用叠加原理。 这意味着由穿过同一空间的两个或多个波引起的净振幅是各个波分别产生的振幅之和。 例如，两个相互传播的波将直接穿过对方而另一侧没有任何失真。 （见上图。）

关于波叠加，理查德费曼写道：

从来没有人能够令人满意地定义干涉和衍射之间的区别。 这只是一个使用问题，它们之间没有具体的、重要的物理差异。