玻茨模型

在统计力学中，玻茨模型是伊辛模型的推广，是晶格上相互作用的自旋模型。 通过研究磁铁模型，人们可以深入了解铁磁体的行为和固态物理的某些其他现象。 玻茨模型的优势不在于它能很好地模拟这些物理系统； 更确切地说，一维情况是完全可解的，并且它具有丰富的数学公式，已被广泛研究。

该模型以 Renfrey Potts 的名字命名，Renfrey Potts 在他 1951 年的博士学位即将结束时描述了该模型。 论文。 该模型与平面 Potts 或时钟模型有关，这是他的顾问 Cyril Domb 向他建议的。 四态模型有时被称为 Ashkin-Teller 模型，以 Julius Ashkin 和 Edward Teller 的名字命名，他们在 1943 年考虑了一个等效模型。

茨模型与其他几个模型相关，并由其他模型推广，包括 XY 模型、海森堡模型和 N 向量模型。 无限范围的玻茨模型被称为 Kac 模型。 当自旋以非阿贝尔方式相互作用时，该模型与通量管模型相关，该模型用于讨论量子色动力学中的限制。 玻茨模型的推广也被用于模拟金属中的晶粒生长和泡沫中的粗化。 James Glazier 和 Francois Graner 对这些方法的进一步概括，被称为细胞玻茨模型，已被用于模拟泡沫和生物形态发生中的静态和动力学现象。

玻茨模型由放置在格子上的自旋组成； 晶格通常被认为是二维矩形欧几里德晶格，但通常被推广到其他维度和晶格结构。

总和运行在所有晶格点的最近邻对 ⟨ i , j ⟩ {\displaystyle \langle i,j\rangle } 上，而 J c {\displaystyle J_{c}} 是一个耦合常数， 确定交互强度。 这个模型现在被称为矢量玻茨模型或时钟模型。 Potts 提供了 q = 3 , 4 {\displaystyle q=3,4} 相变的二维位置。 在极限 q → ∞ {\displaystyle q\to \infty } 中，这成为 XY 模型。

现在称为标准玻茨模型的是 Potts 在研究上述模型的过程中提出的

q = 2 {\displaystyle q=2} 标准玻茨模型等同于伊辛模型和二态向量玻茨模型，其中 J p = − 2 J c {\displaystyle J_{p}=- 2J_{c}} 。 q = 3 {\displaystyle q=3} 标准玻茨模型相当于三态向量玻茨模型，其中 J p = − 3 2 J c {\displaystyle J_{p}=-{\ 压裂 {3}{2}}J_{c}} 。

一个常见的概括是引入一个外部磁场项 h {\displaystyle h} ，并将参数移动到总和中并允许它们在整个模型中变化

不同的论文可能采用略有不同的约定，可以通过加法或乘法常数改变 H {\displaystyle H} 和相关的配分函数。

尽管它作为物理系统的模型很简单，但玻茨模型作为研究相变的模型系统很有用。 例如，对于 2 d {\displaystyle 2d} 中的标准铁磁模型，所有实数值 q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1} 都存在相变，临界点在 β J = log ⁡ ( 1 + q ) {\displaystyle \beta J=\log(1+{\sqrt {q}})} 。 相变对于 1 ≤ q ≤ 4 {\displaystyle 1\leq q\leq 4} 是连续的，对于 q >; 是不连续的。 4 {\displaystyle q>4} .

对于时钟模型，有证据表明相应的相变是无限阶 BKT 转换，并且当 q ≤ 4 {\displaystyle q\leq 4} 时观察到连续的相变。