海森堡模型

量子海森堡模型由维尔纳海森堡开发，是一种用于研究磁系统的临界点和相变的统计力学模型，其中磁系统的自旋被量子力学处理。 它与原型伊辛模型有关，其中在晶格的每个位置，自旋 σ i ∈ { ± 1 } 表示磁矩向上或向下的微观磁偶极子。 除了磁偶极矩之间的耦合外，还有海森堡模型的多极版本，称为多极交换相互作用。

出于量子力学的原因（参见交换相互作用或磁学§ 磁学的量子力学起源），两个偶极子之间的主导耦合可能导致最近的邻居在排列时具有最低的能量。 在此假设下（以便磁相互作用仅发生在相邻偶极子之间）和一维周期性晶格上

其中 J {\displaystyle J} 是耦合常数，偶极子由经典向量（或自旋）σj 表示，服从周期性边界条件 σ N + 1 = σ 1 {\displaystyle \sigma _{N+1 }=\西格玛 _{1}} 。 海森堡模型是一个更现实的模型，因为它通过量子力学处理自旋，用作用于张量积 ( C 2 ) 的量子算子代替自旋 ⊗ N其中 I 是 2 × 2 单位矩阵。给定实值耦合常数 J 的选择 x , J y , 和 J z

其中右侧的 h {\displaystyle h} 表示外部磁场，具有周期性边界条件。 目的是确定哈密顿量的谱，从中可以计算配分函数并研究系统的热力学。

在代数公式中，这些分别与 XXZ 和 XYZ 情况下的特定量子仿射代数和椭圆量子群相关。 其他方法在没有 Bethe ansatz 的情况下这样做。

海森堡 模型的物理性质在很大程度上取决于耦合常数 J {\displaystyle J} 的符号和空间维度。 对于正 J {\displaystyle J} 基态总是铁磁的。 在负 J {\displaystyle J} 处，基态在两个和三个维度上是反铁磁的。 在一维中，反铁磁海森堡模型中相关性的性质取决于磁偶极子的自旋。 如果自旋是整数，则仅存在短程顺序。 半整数自旋系统表现出准长程有序。

海森堡模型的简化版是一维伊辛模型，横向磁场在x方向，相互作用只在z方向。