均方误差

均方误差，又称期望平方误差，或均方误差，缩写为MQA、MQF或MSE，是数理统计中使用的术语。 在估计理论中，它表示点估计量在要估计的值周围散布了多少。 这使其成为估算器的核心质量标准。 在回归分析中，它被解释为估计量与真实值的平方期望距离。

在经典情况下，低均方差意味着估计器的失真和方差都很小。 使用估计器，您平均接近要估计的函数（失真度较低），同时您知道估计值分散很小（方差低）并且很可能接近其预期值。

因此，使用 MSE 可以相互比较估计方法。 这个想法是，更喜欢方差小得多的略有偏差的估计量可能是有益的。 MSE 较小的估计方法通常被认为是更好的方法。

问题是 MSE 通常取决于要估计的未知总体参数。

典型案例是估计正态分布的均值。 我们假设随机变量 X 1 , … , X n 存在，每个变量都服从正态分布，期望值未知 γ和方差 1 。 经典估计量是样本均值 X ¯ n 。 这里失真为零：

偏置 ⁡ ( X ¯ n ) = 0 ,

因为经验平均值对于 γ 是无偏的。 由于 X ¯ n 本身服从正态分布，期望为 γ，方差为 1 n , 如下

MSE ⁡ ( X¯ n ) = 1 n 。

如果 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty }

MSE → 0

给出了两个估计统计量 T 1 和 T 2。 估计统计量 T 1 被称为 MSE 有效

MSE ⁡ ( T 1 ) ≤ MSE ⁡ ( T 2 )

适用于所有可容许的分布。 此外，如果估计统计量的 MSE 对于所有允许的分布总是最小的，则称该估计统计量是 MSE 有效的。

如果将估计理论解释为统计决策问题，那么每个点估计量都是一个决策函数。 决策函数与待估计值的偏差然后由损失函数加权。 这表示估计造成的“损害”的程度。 V然后将损失函数与决策函数结合形成风险函数，它给出了使用特定决策函数时的平均危害。

然后通过计算期望值获得风险函数。