迭代方法

在计算数学中，迭代方法是一种数学程序，它使用一个初始值来生成一类问题的一连串改进的近似解，其中第n个近似解是由以前的近似解衍生出来的。迭代方法的具体实现，包括终止标准，就是迭代方法的算法。如果相应的序列在给定的初始近似值下收敛，则迭代方法被称为收敛。通常会对迭代方法进行数学上严格的收敛分析；然而，基于启发式的迭代方法也很常见。相反，直接方法试图通过有限的操作序列来解决问题。在没有四舍五入误差的情况下，直接方法将提供一个精确的解决方案（例如，解决一个线性方程组的{displaystyleA/mathbf{x}=/mathbf{b}}}。}通过高斯消除法）。迭代方法往往是非线性方程的xxx选择。然而,迭代方法甚至对涉及许多变量的线性问题(有时是数百万的数量级)也常常是有用的,在这些问题上,即使有xxx的计算能力,直接方法也是昂贵的(在某些情况下是不可能的)。

如果一个方程可以被转化为f(x)=x的形式，并且一个解x是函数f的一个有吸引力的固定点，那么我们可以从x的吸引力盆地中的一个点x1开始，并且让xn+1=f(xn)，对于n≥1，序列{xn}n≥1将收敛到解x上。这里xn是x的第n次逼近或迭代，xn+1是x的下一次或n+1次迭代。另外，括号内的上标在数值方法中经常使用，以避免与其他含义的下标相干扰。(例如，x(n+1)=f(x(n))。如果函数f是可连续微分的，收敛的充分条件是导数的谱半径在固定点的附近严格地被1所约束。如果这个条件在固定点上成立，那么一定存在一个足够小的邻域（吸引盆地）。

在线性方程组的情况下，两大类迭代方法是静止迭代方法和更普遍的Krylov子空间方法。

静态迭代方法用一个近似于原始算子的算子求解一个线性系统；并根据对结果的误差（残差）的测量，形成一个修正方程，对其重复这一过程。虽然这些方法的推导、实现和分析都很简单，但只对有限的一类矩阵保证收敛性。

而对于一个给定的线性系统{displaystyleA/mathbf{x}=/mathbf{b}}的线性系统。}有精确的解决方案如果存在一个矩阵，那么这种迭代方法被称为线性方法

静态迭代方法的基本例子使用矩阵的分裂{displaystyleU}是A{displaystyleA}的严格上三角部分。