正则化无网格方法

在数值数学中，正则化无网格方法（RMM），又称奇异无网格方法或去奇异无网格方法，是一种无网格边界配位方法，旨在解决某些基本解是明确已知的偏微分方程。RMM是一种强形式的配位法，其优点是无网格、无积分、易于实施和高稳定性。到目前为止，该方法已经成功地应用于一些典型的问题，如电势、声学、水波以及有界域和无界域的反问题。说明：RMM采用势理论中的双层势作为其基础/核函数。与基本解法（MFS）一样，数值解是由不同源点的双层核函数的线性组合近似的。与MFS不同的是，RMM的匹配点和源点是重合的，并且放在物理边界上，不需要MFS中的虚构边界。因此，RMM克服了MFS应用于现实世界问题的主要瓶颈。在同位点和源点重合时，双层核函数会出现不同等级的奇异性。因此，引入了减法和加法正则化技术，从而消除或取消了这种奇异性。

如今，有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）、有限体积法（FVM）和边界元法（BEM）是许多工程和科学领域数值建模中的主流数值技术。在解决高维移动或复杂形状的边界问题时，网格的生成是繁琐的，甚至是非常具有挑战性的问题，而且计算成本高，往往在数学上很麻烦。长期以来，由于仅有边界离散和半分析性质，BEM一直被宣称可以减轻这种缺点。尽管有这些优点，但BEM涉及相当复杂的数学和一些棘手的奇异积分。此外，三维领域的表面网格划分仍然是一项不简单的任务。在过去的几十年里，人们为缓解或消除这些困难做出了相当大的努力，导致了无网格/无网格边界定位方法的发展，这些方法既不需要域也不需要边界网格划分。在这些方法中，MFS是最受欢迎的，其优点是容易编程，数学简单，精度高，收敛快。在MFS中，为了避免基本解的奇异性，需要在问题域外有一个虚构的边界。

然而，确定虚构边界的最佳位置是一项有待研究的非艰巨任务。此后，人们做出了巨大的努力来消除这个长期以来令人困惑的问题。最近的进展包括，例如，边界结法（BKM）、正则化无网格法（RMM）、修正的MFS（MMFS）和奇异边界法（SBM）。到目前为止，RMM已经成功地应用于多种物理问题，如电势、外部声学反平面压电、多连接域的声学特征问题、反问题、possion'方程和水波问题。此外，一些改进的公式旨在进一步提高该方法的可行性和效率，例如，见不规则域问题的加权RMM和二维拉普拉斯问题的分析RMM。