无网格方法

在数值分析领域，无网格方法是指那些不需要模拟域的节点之间的连接，即网格，而是基于每个节点与所有相邻节点的相互作用。因此，原有的广泛属性，如质量或动能，不再分配给网状元素，而是分配给单个节点。无网格方法能够模拟一些原本困难的问题类型，但要付出额外的计算时间和编程努力。没有网格可以进行拉格朗日模拟，其中节点可以根据速度场移动。

诸如有限差分法、有限体积法和有限元法等数值方法最初是在数据点的网格上定义的。在这样的网格中，每个点都有固定数量的预定邻居，邻居之间的连通性可以用来定义数学算子，如导数。然后，这些算子被用来构建模拟方程，如欧拉方程或纳维-斯托克斯方程。但在模拟中，如果被模拟的材料可以移动（如计算流体力学）或材料可能发生大的变形（如模拟塑性材料），那么网格的连接性就很难在不给模拟带来误差的情况下保持。如果网格在模拟过程中变得纠结或退化，在其上定义的算子可能不再给出正确的值。网格可以在模拟过程中被重新创建（这个过程被称为重塑），但这也会引入错误，因为所有现有的数据点必须被映射到新的不同的数据点上。无网格方法就是为了弥补这些问题。无网格方法也适用于从复杂的三维物体的几何形状创建一个有用的网格可能特别困难，或者需要人工协助。及其空间和时间导数，以有限差分的形式写出被模拟的方程，然后用许多有限差分方法之一模拟该方程。

在这个简单的例子中，各步骤在所有网格上都是恒定的。)在所有网格上都是恒定的，而数据值的左右网格邻居在，分别是。一般来说，在有限差分中，人们可以非常简单地允许沿着网格的步骤变化，但是所有的原始节点都应该被保留下来，它们只能通过原始元素的变形而独立移动。如果所有节点中哪怕只有两个改变了顺序，或者哪怕只有一个节点被加入或从模拟中移除，都会在原始网格中产生一个缺陷，简单的有限差分近似就不能再成立。平滑粒子流体力学（SPH）是最古老的无网格方法之一，它通过将数据点视为具有质量和密度的物理粒子来解决这个问题，这些粒子可以随时间移动，并携带一些数值带着一些值。