三值逻辑

在逻辑中，三值逻辑（也称为三元逻辑、三价、三元或三元逻辑，有时缩写为 3VL）是多个多值逻辑系统中的任何一个，其中有三个真值表示真、假和一些不确定的第三值。 这与仅提供 true 和 false 的更广为人知的二价逻辑（例如经典句子逻辑或布尔逻辑）形成对比。

Emil Leon Post 因在其 1921 年的基本命题理论中首次引入额外的逻辑真值而受到赞誉。 三值逻辑的概念形式和基本思想最初由 Jan Łukasiewicz 和 Clarence Irving Lewis 发表。 这些随后由 Grigore Constantin Moisil 以公理代数形式重新表述，并在 1945 年扩展到 n 值逻辑。

1910 年左右，查尔斯·桑德斯·皮尔士 (Charles Sanders Peirce) 定义了一个多值逻辑系统。 他从未发表过。 事实上，他甚至没有给定义三值运算符的三页笔记编号。 皮尔士坚决反对所有命题非真即假的观点。 他写道，边界命题处于 P 和非 P 之间的极限。然而，尽管他确信三元逻辑是普遍正确的，但他还记下了所有这些都非常接近于胡说八道。 直到 1966 年，当 Max Fisch 和 Atwell Turquette 开始发表他们在他未发表的手稿中重新发现的东西时，Peirce 的三元论思想才广为人知。

与二价逻辑一样，三进制逻辑中的真值可以使用三进制数字系统的各种表示法以数字方式表示。 一些更常见的例子是：

• 在平衡三进制中，每个数字具有 3 个值之一：-1、0 或 +1； 这些值也可以分别简化为-、0、+；
• 在冗余二进制表示中，每个数字的值可以是-1、0、0/1（值0/1有两种不同的表示）；
• 在三元数字系统中，每个数字都是一个 trit（三进制数字），其值为：0、1 或 2；
• 在倾斜二进制数系统中，只有最低位的非零位可以取值为2，其余位取值为0或1；
• 1 表示正确，2 表示错误，0 表示未知、不可知/无法确定、不相关或两者兼而有之；
• 0 表示假，1 表示真，第三个非整数可能是符号，例如 ?、#、½ 或 xy。

在三进制计算机内部，三进制值由三进制信号表示。

本文主要阐述了一个使用真值{false, unknown, true} 的三元命题逻辑系统，并将传统的布尔连接词扩展到三价上下文。 三元谓词逻辑也存在； 这些可能具有不同于经典（二进制）谓词逻辑的量词的读数，并且也可能包括替代量词。

布尔逻辑允许 22 = 4 个一元运算符，在三元逻辑中添加第三个值导致单个输入值总共有 33 = 27 个不同的运算符。 （这可以通过考虑任意一元运算符的所有可能真值表来弄清楚。给定布尔（输入）变量的 2 个可能值，有四种不同的输出模式（一元运算符对变量进行运算的结果）：TT， TF,FT,FF.鉴于给定三元变量的三个可能值和一元运算的三个可能结果，有二十七种不同的输出模式：TTT、TTU、TTF、TUT、TUU、TUF、TFT、TFU、 TFF、UTT、UTU、UTF、UUT、UUU、UUF、UFT、UFU、UFF、FTT、FTU、FTF、FUT、FUU、FUF、FFT、FFU 和 FFF。）类似地，布尔逻辑有 22×2 = 可能有 16 个不同的二元运算符（具有 2 个输入的运算符），三元逻辑有 33×2 = 19,683 个这样的运算符。 在我们可以轻松命名大部分布尔运算符（NOT、AND、NAND、OR、NOR、XOR、XNOR、等价、蕴涵）的地方，尝试命名除了一小部分可能的三元运算符之外的所有运算符是不合理的。

下面是一组真值表，显示了 Stephen Cole Kleene 的强不确定性逻辑和 Graham Priest 的悖论逻辑的逻辑运算。

在这些真值表中，未知状态在 Kleene 逻辑中可以被认为既不是真也不是假，或者在 Priest 逻辑中被认为是既真又假。 区别在于重言式的定义。 Kleene 逻辑的xxx指定真值是 T，Priest 逻辑的指定真值是 T 和 U。在 Kleene 逻辑中，关于任何特定未知状态在任何时刻是否秘密表示真或假的知识是 无法使用。 然而，某些逻辑运算可以产生明确的结果，即使它们涉及未知的操作数。 例如，因为 true OR true 等于 true，而 true OR false 也等于 true，因此可以推断 true OR unknown 也等于 true。 在这个例子中，因为要么二价 s