混合系统

混合系统是一种同时表现出连续和离散动态行为的动态系统——一个既可以流动（用微分方程描述）又可以跳跃（用状态机或自动机描述）的系统。 通常，术语混合动力系统用于区分混合系统，例如结合了神经网络和模糊逻辑或电气和机械传动系统的混合系统。 混合系统的好处是可以在其结构中包含更大类的系统，从而可以更灵活地对动态现象进行建模。

通常，混合系统的状态由连续变量和离散模式的值定义。 状态根据流条件连续变化，或根据控制图离散变化。 只要所谓的不变量保持不变，就允许连续流动，而只要满足给定的跳跃条件，就会发生离散转换。 离散转换可能与事件相关联。

混合系统已被用于对多个信息物理系统进行建模，包括具有影响的物理系统、逻辑动态控制器，甚至互联网拥塞。

混合系统的典型示例是弹跳球，这是一种具有冲击力的物理系统。 在这里，球（被认为是质点）从初始高度落下并从地面反弹，每次反弹都会消耗能量。 球在每次弹跳之间表现出连续的动态； 然而，当球撞击地面时，它的速度会经历一个模拟非弹性碰撞后的离散变化。 弹跳球的数学描述如下。 令 x 1 {\displaystyle x_{1}} 为球的高度，x 2 {\displaystyle x_{2}} 为球的速度。

这些方程表明，当球在地面上方时，它会被重力吸引到地面上。

这就是说，当球的高度为零（它已经撞击地面）时，它的速度反转并降低了 γ {\displaystyle \gamma } 倍。 实际上，这描述了非弹性碰撞的性质。

弹跳球是一个特别有趣的混合系统，因为它展示了芝诺行为。 芝诺行为有严格的数学定义，但可以非正式地描述为系统在有限时间内进行无限次跳跃。 在这个例子中，球每次弹跳都会失去能量，使得随后的跳跃（与地面的撞击）在时间上越来越近。

值得注意的是，当且仅当添加地面与球之间的接触力时，动力学模型才是完整的。 事实上，如果没有力，就无法正确定义弹跳球，从机械的角度来看，该模型毫无意义。 表示球与地面相互作用的最简单的接触模型是力与球与地面之间的距离（间隙）之间的互补关系。

这样的接触模型不包含磁力，也不包含胶合效应 . 当存在互补关系时，可以在影响累积和消失后继续整合系统：系统的平衡明确定义为球在地面上的静态平衡，在重力补偿下 接触力 λ {\displaystyle \lambda } 。 从基本的凸分析中还注意到，互补关系可以等效地重写为法锥的包含，因此弹球动力学是法锥对凸集的微分包含。

混合系统验证

有一些方法可以自动证明混合系统的属性（例如，下面提到的一些工具）。 证明混合系统安全性的常用技术是可达集的计算、抽象细化和屏障证书。

大多数验证任务是不可判定的，使得通用验证算法无法实现。 取而代之的是，分析这些工具在基准问题上的能力。