自由表面

在物理学中，自由表面是受到零平行剪切应力的流体表面，例如两种均匀流体之间的界面。两种这种均匀流体的一个例子是水体（液体）和空气 地球大气层（气体混合物）。 与液体不同，气体不能自行形成自由表面。流化/液化固体，包括浆液、颗粒材料和粉末，可能会形成自由表面。

如果不受上方约束，重力场中的液体将形成自由表面。在机械平衡下，该自由表面必须垂直于作用在液体上的力； 否则，沿表面会有力，液体会朝那个方向流动。 因此，在地球表面，所有液体的自由表面都是水平的，除非受到干扰（除了附近的固体浸入其中，表面张力会扭曲称为弯液面的区域中的表面）。

在不受重力场等外力影响的自由液体中，内部吸引力仅起作用（例如范德华力、氢键）。 它的自由表面将呈现其体积表面积最小的形状：一个完美的球体。 这种行为可以用表面张力来表示。 这可以通过观察放置在具有相同密度的水和酒精混合物表面下方的大油球来进行实验证明，因此油具有中性浮力。

如果液体的自由表面受到干扰，则会在表面产生波浪。 由于任何弹力，这些波都不是弹性波； 它们是由重力引起的重力波，倾向于将扰动液体的表面带回其水平面。 动量导致波过冲，从而振荡并将扰动传播到表面的相邻部分。 如果液体很深，表面波的速度随波长的平方根而变化； 因此海上的长波比短波走得快。 非常微小的波浪或涟漪不是由重力引起的，而是毛细管作用引起的，并且具有不同于较长海洋表面波浪的特性，因为涟漪增加了表面面积，并且在这种情况下毛细作用力比 重力。毛细管波纹被次表面粘度和表面流变抑制。

如果液体装在圆柱形容器中并围绕与圆柱体轴重合的垂直轴旋转，则自由表面将呈现称为抛物面的旋转抛物面。 每个点的自由表面与作用在其上的力成直角，这是重力和每个点在圆周运动中产生的离心力的合力。 由于望远镜中的主镜必须是抛物面的，因此该原理被用于制造液体镜面望远镜。

考虑一个装满液体的圆柱形容器，在圆柱坐标系中沿 z 方向旋转，运动方程为：

∂ P ∂ r = ρ r ω 2 , ∂ P ∂ θ = 0 , ∂ P ∂ z = − ρ g , {\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial r}}=\ rho r\omega {2},\quad {\frac {\partial P}{\partial \theta }}=0,\quad {\frac {\partial P}{\ 部分 z}}=-\rho g,}

其中 P {\displaystyle P} 是压力， ρ {\displaystyle \rho } 是流体的密度， r {\displaystyle r} 是圆柱体的半径， ω {\displaystyle \omega } 是角频率，g {\displaystyle g} 是重力加速度。 取一个恒定压力的表面 ( d P = 0 ) {\displaystyle (dP=0)} 总微分变为

d P = ρ r ω 2 d r − ρ g d z → d z 等压线 d r = r ω 2 g 。 {\displaystyle dP=\rho r\omega {2}dr-\rho gdz\to {\frac {dz_{\text{isobar}}}{dr}}={\frac { r\omega {2}}{g}}.}

积分，自由表面的方程变为

z s = ω 2 2 g r 2 + h c , {\displaystyle z_{s}={\frac {\omega {2}}{2g}}r{2}+h_{c},}

其中 h c {\displaystyle h_{c}} 是自由表面沿旋转轴距容器底部的距离。 如果对自由表面形成的抛物面的体积进行积分，然后求解出原来的高度，就可以求出流体沿圆柱形容器中心线的高度：

hc = h 0 − ω 2 R 2 4 g 。 {\displaystyle h_{c}=h_{0}-{\frac {\omega {2}R{2}}{4g}}。}

距中心任意距离 r {\displaystyle r} 处的自由表面方程变为

z s = h 0 − ω 2 4 g ( R 2 − 2 r 2 ) 。 {\displaystyle z_{s}=h_{0}-{\frac {\omega {2}}{4g}}(R{2}-2r{2}).}

如果自由液体绕轴旋转，则自由表面将呈现扁球体的形状：由于赤道隆起，地球的形状近似于地球。