克莱罗定理

Clairaut 定理表征了处于流体静力学平衡状态的粘性旋转椭球体在其引力场和离心力作用下的表面重力。 它于 1743 年由亚历克西斯·克劳德·克莱罗 (Alexis Claude Clairaut) 在一篇论文中发表，该论文综合了物理和大地测量证据，证明地球是一个扁旋转椭球体。 它最初用于将地球表面任何一点的重力与该点的位置相关联，从而可以根据不同纬度的重力测量值来计算地球的椭圆率。 今天，它已在很大程度上被 Somigliana 方程所取代。

尽管自古以来就知道地球是球形的，但到 17 世纪，越来越多的证据表明地球并不是一个完美的球体。 1672 年，让·里歇尔 (Jean Richer) 发现了xxx个证据，证明地球上的引力不是恒定的（如果地球是一个球体，情况就会如此）； 他将一个摆钟带到法属圭亚那的卡宴，发现与巴黎的速度相比，它每天损失 2+1⁄2 分钟。 这表明卡宴的重力加速度小于巴黎。 摆锤重力仪开始被带往世界偏远地区的航海，人们慢慢发现重力随着纬度的增加而平滑地增加，两极的重力加速度比赤道大0.5%左右。

英国物理学家艾萨克·牛顿在他的《数学原理》（1687 年）中解释了这一点，其中概述了他关于地球形状的理论和计算。 牛顿建立了正确的理论，认为地球并不是一个精确的球体，而是一个扁椭圆体，由于其自转的离心力，两极略微扁平。 由于地球表面在两极比在赤道更靠近其中心，因此那里的引力更强。 使用几何计算，他对地球的假想椭圆体形状给出了具体论证。

Principia 的目标不是为自然现象提供确切的答案，而是对科学中这些未解决因素的潜在解决方案进行理论化。 牛顿推动科学家进一步研究无法解释的变量。 他启发的两位著名研究人员是 Alexis Clairaut 和 Pierre Louis Maupertuis。 他们都试图证明牛顿地球形状理论的有效性。 为此，他们前往拉普兰探险，试图准确测量子午线弧度。 通过这样的测量，他们可以计算出地球的偏心率，即它偏离完美球体的程度。 克莱罗证实牛顿关于地球是椭球体的理论是正确的，但他的计算是错误的，并写信给伦敦皇家学会把他的发现。 次年，该学会于 1737 年在《哲学汇刊》上发表了一篇文章，揭示了他的发现。 Clairaut 展示了牛顿的方程式是如何不正确的，并且没有向地球证明椭圆体的形状。 然而，他纠正了理论的问题，这实际上证明了牛顿的理论是正确的。 Clairaut 相信牛顿选择他所做的形状是有原因的，但他在《原理》中并不支持它。 Clairaut 的文章也没有提供有效的等式来支持他的论点。 这在科学界引起了很大争议。

直到 Clairaut 于 1743 年写下了《大地图论》，才给出了正确的答案。 在其中，他宣布了今天更为正式的克莱罗定理。

Clairaut 的重力加速度公式 g 在纬度为 φ 的球体表面为： g ( φ ) = G e [ 1 + ( 5 2 m − f ) sin 2 ⁡ φ ] , {\ displaystyle g(\varphi )=G_{e}\left[1+\left({\frac {5}{2}}m-f\right)\sin {2}\varphi \right ]\,,} 其中 G e {\displaystyle G_{e}} 是赤道处的重力加速度值，m 是赤道处离心力与重力的比值，f 是子午线的扁平化 地球的一部分，定义为：f = a − b a , {\displaystyle f={\frac {a-b}{a}}\,,}（其中 a = 半长轴，b = 半短轴）。

Clairaut 在身体由密度恒定的同心同轴球体层组成的假设下推导出公式。 这项工作随后由拉普拉斯进行，他放宽了最初的假设，即密度相等的表面是椭球体。斯托克斯在 1849 年表明，只要外表面是平衡椭球体，该定理就适用于任何密度定律。 可以在 Khan 中找到该主题的历史以及 g 的更详细方程式。

g 的上述表达式已被 Somigliana 方程（在 Carlo Somigliana 之后）所取代。

地球的球体形状是重力和地球绕其轴自转引起的离心力相互作用的结果。