动力系统

在数学中，动力系统是一个系统，其中一个函数描述了环境空间中一个点的时间依赖性。 示例包括描述钟摆摆动、管道中的水流、空气中粒子的随机运动以及每个春天湖中鱼的数量的数学模型。 最一般的定义通过允许不同的空间选择和时间测量方式统一了数学中的几个概念，例如常微分方程和遍历理论。 时间可以用整数、实数或复数来衡量，也可以是更一般的代数对象，失去了物理起源的记忆，空间可以是流形或简单的集合，不需要平滑的时空 上面定义的结构。

在任何给定时间，动力系统都有一个状态表示适当状态空间中的一个点。 这种状态通常由实数元组或几何流形中的向量给出。 动力系统的演化规则是描述从当前状态到未来状态的函数。 通常该函数是确定性的，即对于给定的时间间隔，只有一个未来状态来自当前状态。 然而，有些系统是随机的，因为随机事件也会影响状态变量的演变。

在物理学中，动力系统被描述为一个粒子或粒子群，其状态随时间变化，因此服从涉及时间导数的微分方程。 为了预测系统的未来行为，通过计算机模拟实现了此类方程的解析解或它们随时间的积分。

动力系统的研究是动力系统理论的重点，它在数学、物理学、生物学、化学、工程学、经济学、历史学和医学等广泛领域都有应用。 动力系统是混沌理论、逻辑图动力学、分岔理论、自组装和自组织过程以及混沌边缘概念的基本组成部分。

动力系统的概念起源于牛顿力学。 在那里，与其他自然科学和工程学科一样，动力系统的演化规则是一种隐式关系，它只给出未来很短时间内的系统状态。 （该关系可以是微分方程、差分方程或其他时间尺度。）要确定所有未来时间的状态，需要多次迭代该关系——每次前进一小步。 迭代过程称为求解系统或集成系统。 如果系统可以求解，给定一个初始点，就可以确定其所有未来位置，即称为轨迹或轨道的点集合。

在计算机出现之前，寻找轨道需要复杂的数学技术，并且只能针对一小类动力系统来完成。 在电子计算机器上实施的数值方法简化了确定动力系统轨道的任务。

对于简单的动力系统，知道轨迹通常就足够了，但大多数动力系统过于复杂，无法根据单个轨迹来理解。 困难的产生是因为：

• 所研究的系统可能仅是近似已知的——系统的参数可能不准确，或者方程中可能缺少项。 所使用的近似值对数值解的有效性或相关性提出了质疑。 为了解决这些问题，在动力系统的研究中引入了几个稳定性概念，例如李雅普诺夫稳定性或结构稳定性。 动力系统的稳定性意味着存在一类轨迹等效的模型或初始条件。 比较轨道以确定其等价性的操作随着稳定性概念的不同而变化。

• 轨迹的类型可能比一个特定的轨迹更重要。 一些轨迹可能是周期性的，而其他轨迹可能会在系统的许多不同状态中徘徊。 应用程序通常需要枚举这些类或在一个类中维护系统。 对所有可能的轨迹进行分类导致了对动力系统的定性研究，即在坐标变化下不发生变化的属性。 线性动力系统和具有描述状态的两个数字的系统是了解可能的轨道类别的动力系统的示例。
• 作为参数函数的轨迹行为可能是应用程序所需要的。 随着参数的变化，动力系统可能具有分叉点，动力系统的定性行为在该分叉点处发生变化。 例如，它可能从只有周期性运动到 appa