指数稳定
编辑请参阅 Lyapunov 稳定性，它给出了更一般的动力系统的渐近稳定性的定义。 所有指数稳定的系统也是渐近稳定的。
命名微分方程列表ClassificationTypes
与流程的关系
- 差异（离散模拟）
- 随机指标
- 随机偏
- 延迟
解决方案
存在性和xxx性
- 皮卡德–林德洛夫定理
- 皮亚诺存在性定理
- 卡拉西奥多里存在定理
- 柯西-科瓦列夫斯基定理
一般话题
解决方法
- 变量分离
- 待定系数
- 参数的变化
在控制理论中，当且仅当系统具有具有严格负实部的特征值（即输入到输出系统的极点）时，连续线性时不变系统 (LTI) 才是指数稳定的。 （即，在复平面的左半部分）。 当且仅当其传递函数的极点严格位于以复平面原点为中心的单位圆内时，离散时间输入到输出 LTI 系统才是指数稳定的。 指数稳定是渐近稳定的一种形式。 如果非 LTI 系统的收敛受指数衰减的限制，则它们是指数稳定的。
实际后果
编辑指数稳定的 LTI 系统是在给定有限输入或非零初始条件时不会爆炸（即提供无界输出）的系统。 此外，如果给系统一个固定的、有限的输入（即一个阶跃），那么输出中产生的任何振荡都将以指数速率衰减，并且输出将逐渐趋向于一个新的最终稳态值。 如果系统改为给定狄拉克δ脉冲作为输入，则诱发的振荡将消失并且系统将返回到其先前的值。 如果振荡没有消失，或者在施加脉冲时系统没有返回到其原始输出，则系统反而处于边缘稳定状态。
指数稳定的 LTI 系统示例
编辑右图显示了两个相似系统的脉冲响应。 绿色曲线是系统的响应，脉冲响应为 y ( t ) = e − t 5 {displaystyle y(t)=e{-{frac {t}{5}}}} ，而蓝色 表示系统 y ( t ) = e − t 5 sin ( t ) {displaystyle y(t)=e{-{frac {t}{5}}}sin(t)} 。 尽管一个响应是振荡的，但随着时间的推移两者都会返回到原始值 0。
现实世界的例子
想象一下，将一块大理石放入钢包中。 它会固定在钢包的最低点，除非受到干扰，否则会留在那里。 现在想象一下推动球，这是狄拉克三角洲脉冲的近似值。 大理石会来回滚动，但最终会重新回到钢包底部。 随着时间的推移绘制弹珠的水平位置将给出一个逐渐减小的正弦曲线，就像上图中的蓝色曲线一样。
在这种情况下，阶梯输入需要支撑钢包底部的大理石，使其不能回滚。 它将保持在同一位置，并且不会像系统只是勉强稳定或完全不稳定的情况那样，在与其重量相等的恒定力的作用下继续离开钢包底部。
重要的是要注意，在此示例中，系统对所有输入都不稳定。 给大理石一个足够大的推力，它就会从钢包中掉出来，掉到地板上才停下来。
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