柯尼格斯函数

在数学中，柯尼格斯函数是一个出现在复杂分析和动力系统中的函数。 它由法国数学家 Gabriel Koenigs 于 1884 年引入，它给出了一个规范表示，即复数单位圆盘到自身的单价全纯映射或半群映射的膨胀。

令 D 为复数中的单位圆盘。 设 f 是将 D 映射到自身的全纯函数，固定点 0，其中 f 不等同于 0 并且 f 不是 D 的自同构，即由 SU(1,1) 中的矩阵定义的 Möbius 变换。

根据 Denjoy-Wolff 定理，f 使每个圆盘 |z | 保持不变 < r 和 f 的迭代在 compacta 上一致收敛到 0：事实上对于 0 <; r < 1、

| f ( z ) | ≤ M ( r ) | z | {displaystyle |f(z)|leq M(r)|z|}

对于 |z | ≤ r 且 M(r ) <; 1. 此外 f '(0) = λ 其中 0 <; |λ| < 1.

Koenigs (1884) 证明了在 D 上定义了一个唯 一的全纯函数 h，称为柯尼格斯函数，使得 h(0) = 0，h '(0) = 1 并且满足施罗德方程 ,

h ( f ( z ) ) = f ′ ( 0 ) h ( z ) 。 {displaystyle h(f(z))=f{prime }(0)h(z)~.}

函数 h 是对归一化迭代的 compacta 的统一限制， g n ( z ) = λ − n f n ( z ) {displaystyle g_{n}(z)=lambda {-n}f{n}(z )} 。

此外，如果 f 是单价的，那么 h 也是。

因此，当 f（因此 h）是单价时，D 可以用开放域 U = h(D) 来标识。 在这种共形识别下，映射 f 变成乘以 λ，即 U 上的扩张。

• 独特性。 如果 k 是另一个解，那么通过分析，足以证明 k = h 接近 0。令

H = k ∘ h − 1 ( z ) {displaystyle H=kcirc h{-1}(z)}

接近 0。因此 H(0) =0，H'(0)=1 并且对于 |z | 小的，

• 单价。 由赫尔维茨定理，由于每个gn都是单价的，归一化的，即固定0导数1，它们的极限h也是单价的。

设 ft (z) 是 D 到自身固定 0 的全纯单价映射的半群，为 t ∈ [0, ∞) 定义，使得

• f s {displaystyle f_{s}} 不是 s > 的自同构； 0
• f s ( f t ( z ) ) = f t + s ( z ) {displaystyle f_{s}(f_{t}(z))=f_{t+s}(z)}
• f 0 ( z ) = z {displaystyle f_{0}(z)=z}
• f t ( z ) {displaystyle f_{t}(z)} 在 t 和 z 上是联合连续的

每个 fs s > 0 具有相同的柯尼格斯函数，cf. 迭代函数。 事实上，如果 h 是 f = f1 的柯尼格斯函数，则 h(fs(z)) 满足施罗德方程，因此与 h 成正比。

取导数给出

h ( f s ( z ) ) = f s ′ ( 0 ) h ( z ) 。 {displaystyle h(f_{s}(z))=f_{s}{prime }(0)h(z).}

因此 h 是 fs 的柯尼格斯函数。

在域 U = h(D) 上，映射 fs 乘以 λ ( s ) = f s ′ ( 0 ) {displaystyle lambda (s)=f_{s}{prime }(0)} ，一个连续的半群。所以 λ ( s ) = e μ s {displaystyle lambda (s)=e{mu s}} 其中 μ 是 e μ = λ 的唯 一确定解，其中 Reμ <; 0. 由此可见，半群在 0 处可微。令

v ( z ) = ∂ t f t ( z ) | t = 0 , {displaystyle v(z)=partial _{t}f_{t}(z)|_{t=0},}

D 上的全纯函数，其中 v(0) = 0 且 v'(0) = μ。

矢量场的流动方程。

限制在 0 < 的情况下 λ < 1，h(D) 必须是星状的，这样

ℜ z h ′ ( z ) h ( z ) ≥ 0 。 {displaystyle Re {zh{prime }(z) over h(z)}geq 0~.}

由于倒数的结果相同，

ℜ v ( z ) z ≤ 0 , {displaystyle Re {v(z) over z}leq 0~,}

使得 v(z) 满足条件。