非完整系统

物理和数学中的非完整系统是一种物理系统，其状态取决于实现它所采用的路径。

这样的系统是由一组受到微分约束和非线性约束的参数来描述的，这样当系统沿着其参数空间中的一条路径（参数值连续变化）演化但最终又回到原始参数集时，路径开始处的值，系统本身可能尚未返回到其原始状态。 非完整力学是牛顿力学的独立分支。

更准确地说，非完整系统，也称为非完整系统，是其中存在控制参数的连续闭合回路的系统，通过该回路系统可以从任何给定状态转换为任何其他状态。

因为系统的最终状态取决于其通过参数空间的轨迹的中间值，所以系统不能用保守的势函数来表示，例如，引力的平方反比定律。

后者是完整系统的一个例子：系统中的路径积分仅取决于系统的初始状态和最终状态（位势中的位置），完全独立于这些状态之间的过渡轨迹。

因此，系统被称为可积的，而非完整系统被称为不可积的。当在非完整系统中计算路径积分时，该值表示某个允许值范围内的偏差，并且该偏差被称为由所考虑的特定路径产生的非整数。

该术语由海因里希·赫兹 (Heinrich Hertz) 于 1894 年引入。

非完整系统的一般特征是隐式相关参数。 如果隐含的依赖性可以被移除，例如通过提高空间的维度，从而至少添加一个额外的参数，系统不是真正的非完整系统，而是由低维空间简单地不完全建模。相反，如果系统本质上不能用独立的坐标（参数）来表示，那么它就是一个真正的非完整系统。

一些作者通过区分所谓的系统内部状态和外部状态来充分利用这一点，但实际上，所有参数都是表征系统所必需的，无论它们代表内部过程还是外部过程，所以这种区别实际上是人造的。 然而，遵守守恒原则的物理系统与不遵守守恒原则的物理系统之间存在着非常真实且不可调和的差异。

在球体上平行传输的情况下，区别很明显：黎曼流形具有与欧几里德空间根本不同的度量。 对于球体上的平行传输，隐式依赖是非欧几里德度量所固有的。

球体的表面是一个二维空间。 通过提高维度，我们可以更清楚地看到度量的性质，但它基本上仍然是一个二维空间，其参数无法挽回地依赖于黎曼度量。

相比之下，可以将 X-Y 绘图仪视为完整系统的示例，其中系统的机械组件的状态对于绘图笔的任何给定位置都将具有单一的固定配置。

如果笔在位置 0,0 和 3,3 之间重新定位，则该机构的齿轮将具有相同的最终位置，而不管该机构是否首先在 x 轴上递增 3 个单位，然后在 x 轴上递增 3 个单位。y 轴，首先增加 Y 轴位置，或操作导致最终位置 3,3 的任何其他位置更改序列。

由于无论绘图笔到达其新位置所采用的路径如何，机器的最终状态都是相同的，因此可以说最终结果不依赖于路径。

如果我们用海龟绘图仪代替，将笔从 0,0 移动到 3,3 的过程可能会导致机器人机构的齿轮根据在两个位置之间移动的路径而在不同的位置完成。

N. M. Ferrers 于 1871 年首次建议使用非完整约束来扩展运动方程。他根据广义速度引入了笛卡尔速度的表达式。

1877 年，E. Routh 编写了带有拉格朗日乘数的方程。 在他的《刚体的线性非完整约束》一书的第三版中，他引入了带乘数的形式，现在称为带乘数的第二类拉格朗日方程。

Heinrich Hertz 于 1894 年引入了完整系统和非完整系统这两个术语。1897 年，S. A. Chaplygin 首次建议建立不带拉格朗日乘子的运动方程。