密勒指数

米勒指数形成晶体学中用于晶体（布拉维）晶格中晶格平面的符号系统。

特别是，给定（直接）布拉维晶格的晶格平面族由三个整数 h、k 和 ℓ（米勒指数）确定。 它们被写成 (hkℓ)，并表示与 g 正交的（平行）晶格平面族（给定布拉维点阵） h k ℓ = h b 1 + k b 2 + ℓ b 3 ，其中 b i 是给定布拉维点阵的倒易点阵的基础或原始平移向量。 （请注意，平面并不总是与直接或原始点阵向量的线性组合正交 h a 1 + k a 2 + ℓ a 3 因为直接点阵向量不需要相互正交。）这是基于倒数点阵向量 g（表示从倒易晶格原点的倒易晶格点的矢量）是空间函数（例如，电子密度函数）的傅里叶级数中平面波的波矢，其周期性遵循原始布拉维晶格，因此波阵面 平面波与原始晶格的平行晶格平面重合。 由于 X 射线晶体学中测量的散射矢量，Δ k = k o u t − k i n ，以 k o u t 作为出射（从晶格散射）X 射线波向量和 k i n入射（朝向晶格）X射线波向量，等于倒易晶格向量 g 如劳厄方程所述，每个测量散射矢量 Δ k 处的测量散射 X 射线峰值由米勒指数标记。 按照惯例，负整数用横线书写，如 3 代表 -3。 整数通常以最小值表示，即它们的xxx公约数应为 1。米勒指数也用于表示 X 射线晶体学中的反射。 在这种情况下，整数不一定是最低项，并且可以被认为对应于间隔开的平面，这样来自相邻平面的反射将具有恰好一个波长 (2π) 的相位差。

还有几个相关的符号：

• 记号{hkℓ}表示通过晶格的对称性等价于(hkℓ)的所有平面的集合。

米勒指数是根据单位单元的任何选择来定义的，而不仅仅是根据原始基向量来定义的，正如有时所说的那样。

有两种等效的方法来定义米勒指数的含义：通过倒易格中的一个点，或者作为沿格向量的逆截距。 两种定义都在下面给出。 在任何一种情况下，都需要选择定义晶胞的三个晶格向量 a1、a2 和 a3。 鉴于这些，还确定了三个原始倒易点阵向量（表示为 b1、b2 和 b3）。

然后，给定三个米勒指数 h、k、ℓ，(hkℓ) 表示与倒易晶格矢量正交的平面：

g h k ℓ = h b 1 + k b 2 + ℓ b 3 。也就是说，(hkℓ) 仅表示基于原始倒易点阵向量的平面法线。 因为坐标是整数，所以这条法线本身总是一个倒易点阵向量。 最低项的要求意味着它是给定方向上的最短倒格矢量。