欧拉方程 (刚体运动)

在经典力学中，欧拉旋转方程是描述刚体旋转的矢量拟线性一阶常微分方程，使用角速度为 ω 的旋转参考系，其轴固定在刚体上。

其中 M 是施加的扭矩，I 是惯性矩阵。向量 α = ω ˙ {displaystyle {boldsymbol {alpha }}={dot {boldsymbol {omega }}}} 是角加速度。

其中 Mk 是施加扭矩的分量，Ik 是主惯性矩，ωk 是角速度的分量。

在惯性参考系（下标）中，欧拉第二定律指出角动量 L 的时间导数等于施加的扭矩

对于内力为中心力的点粒子，这可以使用牛顿第二定律推导出来。

在惯性系中，微分方程并不总是有助于求解一般旋转刚体的运动，因为 Iin 和 ω 在运动过程中都会发生变化。 也可以改为固定在旋转体中的坐标系，在该坐标系中转动惯量张量是恒定的。 使用一个参考系，比如在质心的参考系，坐标系的位置从方程中消失。

因此出现叉积，请参见旋转参考系中的时间导数。

现在代入 L = I ω {displaystyle mathbf {L} =mathbf {I} {boldsymbol {omega }}} 并在旋转坐标系中取时间导数，同时意识到 粒子位置和惯性张量不依赖于时间。

在讨论合成扭矩时，这些方程式也源自牛顿定律。

同样在一些不依赖于身体的框架中，可以获得角动量变化率的这种简单（对角线张量）方程。 然后 ω 必须是该框架轴旋转的角速度，而不是身体的旋转。 然而，仍然需要所选轴仍然是惯性主轴。 欧拉旋转方程的结果形式对于允许自由选择一些主要旋转轴的旋转对称对象很有用。

对于右侧扭矩为零的情况，无扭矩进动是非常重要的解决方案。