相空间表述

量子力学的相空间公式将位置变量和动量变量置于相空间中的同等地位。 相比之下，薛定谔的图片使用位置或动量表示（另请参见位置和动量空间）。 相空间公式的两个关键特征是量子态由准概率分布（而不是波函数、状态向量或密度矩阵）描述，算子乘法由星积代替。

该理论由 Hilbrand Groenewold 于 1946 年在他的博士论文中得到充分发展，并由 Joe Moyal 独立发展，每个理论都建立在 Hermann Weyl 和 Eugene Wigner 的早期思想之上。

相空间公式的主要优点是它通过避免算子形式主义使量子力学看起来尽可能类似于哈密顿力学，从而“释放”希尔伯特空间的“负担”的量子化。 这个公式本质上是统计的，提供了量子力学和经典统计力学之间的逻辑联系，使两者之间能够进行自然比较（见经典极限）。 相空间中的量子力学通常在某些量子光学应用（参见光学相空间）或退相干和一系列专业技术问题的研究中受到青睐，尽管在其他情况下形式主义在实际情况中不太常用。

相空间中量子力学发展的概念思想已经分支为数学分支，例如 Kontsevich 的变形量化（参见 Kontsevich 量化公式）和非交换几何。

量子态的相空间分布 f(x, p) 是准概率分布。 在相空间公式中，相空间分布可以被视为量子系统的基本、原始描述，而不涉及波函数或密度矩阵。

有几种不同的方式来表示分布，所有方式都是相互关联的。 最值得注意的是首先发现的 Wigner 表示 W(x, p)。 其他表征（在文献中大致按流行程度降序排列）包括 Glauber–Sudarshan P、Husimi Q、Kirkwood–Rihaczek、Mehta、Rivier 和 Born–Jordan 表征。 当哈密顿量采用特定形式时，这些替代方案最有用，例如 Glauber–Sudarshan P 表示的正常顺序。 由于 Wigner 表示是最常见的，除非另有说明，否则本文通常会坚持使用它。

相空间分布具有类似于 2n 维相空间中的概率密度的特性。 例如，它是实值的，不像通常的复值波函数。 我们可以理解位于一个位置区间内的概率，例如，通过对所有动量和位置区间积分 Wigner 函数：

P ⁡ [ a ≤ X ≤ b ] = ∫ a b ∫ − ∞ ∞ W ( x , p ) d p d x 。 {displaystyle operatorname {P} [aleq Xleq b]=int _{a}{b}int _{-infty }{infty }W(x ,p),dp,dx.}

如果 Â(x, p) 是表示可观察量的算子，则可以通过维格纳变换将其映射为 A(x, p) 的相空间。 相反，该算子可以通过 Weyl 变换恢复。

可观测值相对于相空间分布的期望值为

⟨ A ^ ⟩ = ∫ A ( x , p ) W ( x , p ) d p d x 。 {displaystyle langle {hat {A}}rangle =int A(x,p)W(x,p),dp,dx.}

然而，需要注意的一点是：尽管外观相似，但 W(x, p) 并不是真正的联合概率分布，因为它下面的区域并不代表相互排斥的状态，正如概率论第三公理所要求的那样。 此外，一般情况下，即使对于纯状态，它也可以取负值，但（可选压缩的）相干状态除外，这违反了xxx个公理。

这种负值的区域被证明是小的：它们不能扩展到大于几个 ħ 的紧凑区域，因此在经典极限中消失。 它们受到不确定性原理的保护，该原理不允许在小于 ħ 的相空间区域内进行精确定位，从而使这种负概率不那么自相矛盾。 如果方程的左边要解释为希尔伯特空间中关于算子的期望值，那么在量子光学的背景下，这个方程被称为光学等效定理。 （有关 Wigner 函数的属性和解释的详细信息，请参阅其主要文章。）

量子力学的另一种相空间方法试图在相空间上定义波函数（不仅仅是准概率密度），通常是通过 Segal–Bargmann 变换。 为了与不确定性原理兼容，相空间波函数不能是任意函数。