法拉第吊诡

法拉第吊诡或法拉第悖论是迈克尔·法拉第电磁感应定律似乎预测不正确结果的任何实验。 悖论分为两类：

• 法拉第定律似乎预测电动势 (EMF) 将为零，但电动势不为零。
• 法拉第定律似乎预测将有一个非零的 EMF，但实际上是零 EMF。

法拉第在发明xxx台电磁发电机或发电机后于 1831 年推导出他的感应定律，但他对自己对悖论的解释从未感到满意。

法拉第定律（也称为法拉第-楞次定律）指出电动势 (EMF) 由磁通量相对于时间 t 的全导数给出：

E = − d Φ B d t , {\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}},}

其中 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 是电动势，ΦB 是通过线圈的磁通量。 电动势的方向由楞次定律给出。 一个经常被忽视的事实是，法拉第定律是基于磁通量的全导数，而不是偏导数。 这意味着即使通过表面的总通量恒定，也可能会产生 EMF。 为了克服这个问题，可以使用特殊技术。 请参阅下面有关使用法拉第定律的特殊技术部分。

然而，法拉第定律最常见的解释是：

任何闭合电路中的感应电动势都等于电路所包围的磁通量随时间变化率的负数。

这个版本的法拉第定律只在闭合电路是一圈无限细的导线时严格成立，在其他情况下是无效的。 它忽略了法拉第定律是由磁通量的总导数而非偏导数定义的事实，以及 EMF 不一定局限于闭合路径但也可能具有径向分量的事实，如下所述。 一个不同的版本，麦克斯韦-法拉第方程（下面讨论），在所有情况下都是有效的，当与洛伦兹力定律结合使用时，它与法拉第定律的正确应用是一致的。

从麦克斯韦方程组和洛伦兹力定律证明法拉第定律的概要。

考虑通过面积为 Σ ( t ) {\displaystyle \Sigma (t)} 的可能移动环路的通量的时间导数：

d Φ B d t = d d t ∫ Σ ( t ) B ( t ) ⋅ d A {\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}={\frac {d}{dt }}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t)\cdot d\mathbf {A} }

积分可能会随时间变化，原因有二：被积函数可能会变化，或者积分区域可能会变化。 这些线性相加，因此：

d Φ B d t | t = t 0 = ( ∫ Σ ( t 0 ) ∂ B ∂ t | t = t 0 ⋅ d A ) + ( d d t ∫ Σ ( t ) B ( t 0 ) ⋅ d A ) {\displaystyle \left. {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}\right|_{t=t_{0}}=\left(\int _{\Sigma (t_{0}) }\left.{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right|_{t=t_{0}}\cdot d\mathbf {A} \right)+\left({\frac {d}{dt}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t_{0})\cdot d\ mathbf {A} \右）}

其中 t0 是任何给定的固定时间。 我们将证明右侧的xxx项对应于变压器 EMF，第二项对应于运动 EMF。 右侧的xxx项可以使用麦克斯韦-法拉第方程的积分形式重写：

∫ Σ ( t 0 ) ∂ B ∂ t | t = t 0 ⋅ d A = − ∮ ∂ Σ ( t 0 ) E ( t 0 ) ⋅ d ℓ {\displaystyle \int _{\Sigma (t_{0})}\left.{\ frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right|_{t=t_{0}}\cdot d\mathbf {A} =-\oint _{ partial \Sigma (t_{0})}\mathbf {E} (t_{0})\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}

接下来，我们分析右边的第二项：

d d t ∫ Σ ( t ) B ( t 0 ) ⋅ d A {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t_{ 0})\cdot d\mathbf {A} }

这是证明中最困难的部分； 可以在参考资料中找到更多详细信息和替代方法。 当环移动和/或变形时，它会扫过一个表面（见右图）。 通过这个扫过表面的磁通量对应于进入或离开环路的磁通量，因此这是对时间导数有贡献的磁通量。 （这一步隐含地使用了高斯磁性定律：由于磁力线没有起点或终点，它们只能通过被电线切断才能进入环路。）作为环路的一小部分 d ℓ { displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}} 以速度 v 短时间移动 d t {\displaystyle dt} ，它扫出一个向量面积向量 d A = v d t × d ℓ {\displaystyle d mathbf {A} =\mathbf {v} \,dt\times d{\boldsymbol {\ell }}} 。 因此，此处通过环路的磁通量变化。