描述函数

在控制系统理论中，是用于分析某些非线性控制问题的近似程序。 它基于准线性化，准线性化是通过依赖于输入波形幅度的线性时不变 (LTI) 传递函数来研究非线性系统的近似值。 根据定义，真正的 LTI 系统的传递函数不能依赖于输入函数的幅度，因为 LTI 系统是线性的。 因此，这种对振幅的依赖产生了一系列线性系统，这些系统被组合起来以试图捕捉非线性系统行为的显着特征。 描述函数是设计非线性系统的为数不多的广泛应用的方法之一，并且被广泛用作分析闭环控制器中的极限环的标准数学工具。

考虑与缓慢稳定的线性系统级联的不连续（但分段连续）非线性（例如，具有饱和度的放大器或具有死区效应的元件）的反馈。 反馈呈现给非线性的连续区域取决于线性系统输出的幅度。 随着线性系统的输出幅度衰减，非线性可能会移动到不同的连续区域。 这种从一个连续区域到另一个连续区域的切换会产生周期性振荡。 描述函数法试图通过假设慢速系统像低通或带通滤波器一样将所有能量集中在一个频率周围来预测这些振荡的特征（例如，它们的基频）。 即使输出波形有多种模式，该方法仍然可以提供有关频率和可能幅度等属性的直觉； 在这种情况下，描述函数方法可以被认为是描述反馈系统的滑动模式。

使用这种低通假设，系统响应可以用一系列正弦波形中的一个来描述； 在这种情况下，系统将以正弦输入描述函数 (SIDF) H ( A , j ω )为特征，给出系统对输入组成的响应 振幅为 A、频率为 ω 的正弦波。 此 SIDF 是对用于表征线性系统的传递函数 H ( j ω ) 的修改。 在准线性系统中，当输入是正弦波时，输出将是频率相同但具有缩放幅度和偏移相位的正弦波，由 H ( A , j ω ) 。 许多系统在某种意义上是近似线性的，尽管对正弦波的响应不是纯正弦波，但输出中的大部分能量确实与输入的频率 ω 相同 . 这是因为此类系统可能具有固有的低通或带通特性，因此谐波会自然衰减，或者因为为此目的添加了外部滤波器。 SIDF 技术的一个重要应用是估计正弦电子振荡器的振荡幅度。

已使用的其他类型的描述函数是用于电平输入和高斯噪声输入的 DF。 虽然不是系统的完整描述，但 DF 通常足以回答有关控制和稳定性的特定问题。 DF 方法最适合分析非线性相对较弱的系统。 此外，高阶正弦输入描述函数 (HOSIDF) 描述了一类非线性系统在正弦输入的输入频率的谐波处的响应。 HOSIDF 是 SIDF 的扩展，适用于非线性响应显着的系统。

尽管描述函数方法可以为广泛的系统类产生相当准确的结果，但对于其他系统它可能会失败。 例如，如果系统强调非线性的高次谐波，则该方法可能会失败。 Tzypkin 已经为 bang-bang 系统提供了这样的例子。 一个非常相似的例子是一个闭环振荡器，它由一个非反相施密特触发器和一个反相积分器组成，该积分器将其输出反馈到施密特触发器的输入。 施密特触发器的输出将是一个方波，而积分器（跟随它）的输出将是一个三角波形，其峰值与方波的跃迁一致。 这两个振荡器级中的每一个都精确地滞后信号 90 度（相对于其输入）。