倒易点阵

在物理学中，倒易点阵表示另一个点阵（群）（通常是布拉维点阵）的傅立叶变换。 在正常使用中，初始晶格（其变换由倒易晶格表示）是实空间中的周期性空间函数，称为直接晶格。 正向晶格存在于实空间中，通常被理解为物理晶格（例如晶体的晶格），而倒易晶格存在于称为倒易空间或 k 空间的空间频率空间中，其中 k {\ displaystyle \mathbf {k} } 指的是波向量。 在量子物理学中，根据比例关系 p = ℏ k {\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} } ，倒易空间与动量空间密切相关，其中 p {\displaystyle \ mathbf {p} } 是动量向量，ℏ {\displaystyle \hbar } 是普朗克常数。 倒易点阵的倒易点阵等价于原来的直接点阵，因为定义方程关于实空间和倒易空间中的向量是对称的。 在数学上，正向和倒易点阵向量分别表示协变向量和逆变向量。

倒易点阵是所有矢量 G m {\displaystyle \mathbf {G} _{m}} 的集合，它们是空间函数的傅里叶级数中平面波的波矢，其周期与 直接格子 R n {\displaystyle \mathbf {R} _{n}} 。 这个傅立叶级数中的每个平面波在每个直接晶格点处都具有相同的相位或相位相差 2 π {\displaystyle 2\pi } 的倍数（因此在所有直接晶格点处基本相同的相位）。

倒易晶格在大多数周期性结构的分析研究中起着基础性作用，尤其是在衍射理论中。 在中子、氦和 X 射线衍射中，由于劳厄条件，晶体的入射 X 射线和衍射 X 射线之间的动量差是倒易晶格矢量。 晶体的衍射图案可用于确定晶格的倒易矢量。 使用这个过程，可以推断出晶体的原子排列。

布里渊区是倒易晶格的 Wigner-Seitz 晶胞。

倒易空间（也称为 k 空间）提供了一种可视化空间函数傅里叶变换结果的方法。 它的作用类似于时间相关函数的傅里叶变换产生的频域； 倒易空间是空间函数的傅立叶变换在空间频率或傅立叶变换的平面波的波矢处表示的空间。 空间函数本身的域通常称为真实空间。 在晶体学等物理应用中，实空间和倒易空间通常都是二维或三维的。 尽管这两个相关空间的空间维度相同，但空间的长度单位不同，因此当真实空间的长度单位为 L 时，其倒数空间的单位为 1 除以长度 L，因此 L −1（长度的倒数）。

倒易空间对经典和量子力学的波起作用。 因为单位振幅的正弦平面波可以写成振荡项 cos ⁡ ( k x − ω t + ϕ 0 ) {\displaystyle \cos {(kx{-}\omega t{+}\phi _ {0})}} ，初始相位 ϕ 0 {\displaystyle \phi _{0}} ，角波数 k {\displaystyle k} 和角频率 ω {\displaystyle \omega } ，它可以是 被视为 k {\displaystyle k} 和 x {\displaystyle x} 的函数（以及时变部分作为 ω {\displaystyle \omega } 和 t {\displaystyle t} 的函数 ). k {\displaystyle k} 和 x {\displaystyle x} 的这种互补作用导致它们在互补空间（真实空间和倒易空间）中的可视化。