游荡集

在动力系统和遍历理论中，游荡集的概念形式化了某种运动和混合的概念。 当动力系统具有一组游荡的非零测度时，该系统就是一个耗散系统。 这与适用庞加莱递归定理的保守系统相反。 直觉上，漂移集和耗散之间的联系很容易理解：如果相空间的一部分在系统的正常时间演化过程中漂移了，并且再也没有被访问过，那么系统就是耗散的。 游荡集的语言可用于对耗散系统的概念给出精确的数学定义。 Birkhoff 于 1927 年引入了相空间游荡集的概念。

流浪集的常见离散时间定义以拓扑空间 X 的映射 f : X → X {displaystyle f:Xto X} 开始。点 x ∈ X {displaystyle xin 如果存在 x 的邻域 U 和正整数 N 使得对于所有 n > N {displaystyle n>N} ，迭代图是不相交的：

f n ( U ) ∩ U = ∅ 。 {displaystyle f{n}(U)cap U=varnothing .}

一个更方便的定义只需要交集的测量值为零。

对于所有 n > N {displaystyle n>N} 。 类似地，连续时间系统将有一个映射 φ t : X → X {displaystyle varphi _{t}:Xto X} 定义系统的时间演化或流程，时间演化 operator φ {displaystyle varphi } 是 X 上的单参数连续阿贝尔群作用：

在这种情况下，漫游点 x ∈ X {displaystyle xin X} 将具有 x 的邻域 U 和时间 T，使得对于所有时间 t > ; T {displaystyle t>T} ，时间演化图的测度为零：

这些更简单的定义可以完全推广到拓扑群的群作用。 令 Ω = ( X , Σ , μ ) {displaystyle Omega =(X,Sigma ,mu )} 为测度空间，即在其 Borel 子集上定义测度的集合。 设 Γ {displaystyle Gamma } 是作用于该集合的群。

称为点 x 的轨迹或轨道。

一个元素 x ∈ Ω {displaystyle xin Omega } 被称为漫游点，如果存在 x 的邻域 U 和 Γ {displaystyle Gamma } 中恒等式的邻域 V 使得

非漫游点则相反。 在离散情况下，x ∈ X {displaystyle xin X} 是非漫游的，

类似的定义遵循连续时间和离散和连续的群体行动。

游荡集是游荡点的集合。

是一组零测度。

游荡集的概念在某种意义上与庞加莱递归定理中表达的思想是双重的。 如果存在一组游走的正测度，则 Γ {displaystyle Gamma } 的作用被称为耗散，动力系统 ( Ω , Γ ) {displaystyle (Omega ,Gamma )} 被称为耗散系统。

如果没有这样的游走集，则称该动作是保守的，系统是保守系统。 例如，根据定义，庞加莱递推定理成立的任何系统都不可能有一组游荡的正测度； 因此是保守系统的一个例子。

定义游荡集 W 的轨迹为

如果存在一个正测度的游荡集 W，这样轨道 W ∗ {displaystyle W{*}} 几乎处处等于 欧姆。