有限应变理论

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在连续介质力学中，有限应变理论（也称为大应变理论或大变形理论）处理变形，其中应变和/或旋转大到足以使无穷小应变理论中固有的假设无效。 在这种情况下，连续体的未变形和变形配置明显不同，需要明确区分它们。 这通常是弹性体、塑性变形材料和其他流体和生物软组织的情况。

物体的位移有两个分量：刚体位移和变形。

• 刚体位移包括在不改变其形状或大小的情况下同时进行的身体平移（物理）和旋转。
• 变形意味着身体的形状和/或大小从初始或未变形配置 κ 0 ( B ) {\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})} 到 当前或变形的配置 κ t ( B ) {\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}（图 1）。

连续体构型的变化可以用位移场来描述。 位移场是体内所有粒子的所有位移矢量的矢量场，它将变形配置与未变形配置相关联。 当且仅当变形发生时，任意两个粒子之间的距离才会改变。 如果发生位移而没有变形，则为刚体位移。

由变量 i 索引的粒子的位移可以表示如下。 连接未变形配置 P i {\displaystyle P_{i}} 和变形配置 p i {\displaystyle p_{i}} 中粒子位置的矢量称为位移矢量。 使用 X {\displaystyle \mathbf {X} } 代替 P i {\displaystyle P_{i}} 和 x {\displaystyle \mathbf {x} } 代替 p i {\displaystyle p_{ i}\,\!} ，它们都是从坐标系原点到各个点的向量，我们有位移向量的拉格朗日描述： u ( X , t ) = u i e i {\displaystyle mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}} 其中 e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} 是 定义空间（实验室框架）坐标系基础的标准正交单位向量。

在欧拉描述中，从未变形配置的粒子 P {\displaystyle P} 延伸到变形配置的位置的矢量称为位移矢量： U ( x , t ) = U J E J {\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}} 其中 E i {\displaystyle \mathbf {E} _{i}} 是单位 定义材料（车身框架）坐标系基础的矢量。

以空间坐标表示，即 U {\displaystyle \mathbf {U} } 作为 x {\displaystyle \mathbf {x} } 的函数。