运动方程

在物理学中，运动方程是描述物理系统行为的方程，其运动是时间的函数。 更具体地说，运动方程将物理系统的行为描述为一组根据动态变量的数学函数。 这些变量通常是空间坐标和时间，但可能包括动量分量。 最一般的选择是广义坐标，它可以是物理系统的任何方便的变量特征。 这些函数在经典力学中定义在欧几里德空间中，但在相对论中被弯曲空间所取代。 如果已知系统的动力学，则方程是描述动力xxx动的微分方程的解。

对运动的描述主要有两种：动力学和运动学。 动力学是一般的，因为考虑了粒子的动量、力和能量。 在这种情况下，有时术语动力学是指系统满足的微分方程（例如，牛顿第二定律或欧拉-拉格朗日方程），有时是指这些方程的解。

然而，运动学更简单。 它只涉及从对象和时间的位置导出的变量。 在恒定加速度的情况下，这些更简单的运动方程通常称为 SUVAT 方程，源于运动量的定义：位移 (s)、初始速度 (u)、最终速度 (v)、加速度 (a)、 和时间 (t)。

运动的微分方程，通常被识别为一些物理定律并应用物理量的定义，用于建立问题的方程。 求解微分方程将得到具有任意常数的通解，任意性对应于一族解。 可以通过设置初始值来获得特定的解决方案，这固定了常数的值。

正式地说明这一点，一般来说，运动方程 M 是物体位置 r、速度（r 的一阶时间导数，v = dr/dt）及其加速度（r 的二阶导数， a = d2r/dt2), 和时间 t。 3D 中的欧几里得向量始终以粗体表示。 这相当于说 r 中的运动方程是 r 中的二阶常微分方程 (ODE)，

具有指定初始值的运动方程的解 r(t) 描述了 t = 0 后所有时间 t 的系统。其他动力学变量，如物体的动量 p，或从 r 和 p 导出的量，如角动量 , 可以用来代替 r 作为一些运动方程求解的量，尽管物体在时间 t 的位置是迄今为止最受欢迎的量。

有时，方程是线性的，更有可能精确求解。 通常，方程是非线性的，无法精确求解，因此必须使用各种近似值。 根据系统对初始条件的敏感程度，非线性方程的解可能会表现出混沌行为。

运动学、动力学和宇宙的数学模型在三千年的时间里逐渐发展，这要归功于许多思想家，我们只知道其中一些人的名字。 在古代，牧师、占星家和天文学家预测日食和月食、太阳的至点和春分点以及月相。 但除了一套算法来指导他们之外，他们别无其他。 运动方程又过了一千年才写下来。

十三世纪的中世纪学者——例如牛津和巴黎相对较新的大学——借鉴了古代数学家（欧几里德和阿基米德）和哲学家（亚里士多德）来发展一种新的知识体系，现在称为物理学。

在牛津，默顿学院庇护了一批致力于自然科学，主要是物理学、天文学和数学的学者，他们的地位与巴黎大学的知识分子相当。 托马斯·布拉德沃丁 (Thomas Bradwardine) 扩展了亚里士多德的量，例如距离和速度，并赋予它们强度和广度。 布拉德沃丁提出了一个涉及力、阻力、距离、速度和时间的指数定律。 Nicholas Oresme 进一步扩展了 Bradwardine 的论点。 默顿学派证明，物体做匀速加速运动的运动量等于加速运动中途达到的速度下的匀速运动量。