波特图

在电气工程和控制理论中，波特图/ˈboʊdi/是一个系统的频率响应图。它通常是波德幅值图和波德相位图的组合，前者表示频率响应的幅值（通常以分贝为单位），后者表示相移。

正如Hendrik Wade Bode在20世纪30年代最初设想的那样，该图是使用直线段对频率响应的渐进式近似。

工程师Hendrik Wade Bode在20世纪30年代在贝尔实验室工作时，对电路理论和控制理论做出了多项重要贡献，他设计了一种简单而准确的方法来绘制增益图和相移图。这些都以他的名字命名，即波德增益图和波德相位图。Bode的发音通常是/ˈboʊdi/ BOH-dee，虽然荷兰语的发音是Bo-duh。(荷兰语：[ˈboːdə]）。

Bode面临的问题是设计稳定的放大器与反馈的电话网络中使用。他开发了波特图的图形设计技术，以显示增益余量和相位余量的要求，以保持稳定的电路特性的变化，在制造过程中或在操作。开发的原理被应用于伺服机械和其他反馈控制系统的设计问题。波特图是频域分析的一个例子。

波特图对于具有传递函数H ( s ) {displaystyle H(s)} ( s {displaystyle s}是拉普拉斯域的复数频率)的线性、时间不变的系统，由幅值图和相位图组成。

Bode幅值图是频率为ω { jomega }的函数| H ( s = j ω ) | { H(s=jomega )}的图形。(j {displaystyle j}是虚数单位)。幅度图中的ω {displaystyle omega }轴是一个非常重要的元素。-幅度图的轴是对数的，幅度以分贝为单位，即幅度|H|{displaystyle |H|}的值在轴上绘制为20 log 10|H|{displaystyle 20log _{10}|H|}。

Bode相位图是传递函数arg ( H ( s = j ω ) 的相位图，通常用度数表示。）{displaystyle argleft(H(s=jomega )right)}作为ω {displaystyle omega }的函数。.相位被绘制在相同的对数ω {displaystyle omega }上。

本节说明Bode图是一个系统频率响应的可视化。

考虑一个线性、时间不变的系统，其传递函数H ( s ) {displaystyle H(s)}。假设该系统受到频率为ω的正弦波输入 {displaystyle omega } 。,

u ( t ) = sin ( ω t ) , {displaystyle u(t)=sin(omega t);,}。

即从一个时间 - ∞ {displaystyle -infty }到一个时间 t {displaystyle t}。响应将是这样的

y ( t ) = y 0 sin ( ω t + φ ) , {displaystyle y(t)=y_{0}sin(omega t+varphi );,}即也是sin(ω t + φ)。

即，也是一个正弦信号，振幅为y 0 {displaystyle y_{0}}相对于输入的相位移动为φ {displaystyle varphi }。.

可以证明，响应的幅度是

(1)

而相位移动是

(2)

在附录中给出了这些方程的证明简图。

总之，受到频率为ω的输入 {displaystyle omega }，系统在相同的频率下响应，输出被放大了一个系数 | H ( j ω ) | {displaystyle |H(mathrm {j} omega )}，相移为arg ( H ( j ω ) ){displaystyle |H(mathrm {j} omega )}。这些量，因此，表征了频率响应，并显示在波特图中。

对于许多实际问题，详细的波特图可以用精确响应的渐近线段来接近。多元素传递函数的每个项的效果可以用波特图上的一组直线来近似。这允许整体频率响应函数的图解。在数字计算机普及之前，图形方法被广泛用于减少繁琐的计算；图形解决方案可用于确定新设计的可行参数范围。

波特图的前提是，人们可以考虑函数的对数形式。

f ( x ) = A ∏ ( x - c n ) a n {Adisplaystyle f(x)=Aprod (x-c_{n}){a_{n}}。

作为其零点和极点的对数之和。

log ( f ( x ) ) = log ( A ) + ∑ a n log ( x - c n ) 。{displaystyle log(f(x))=log(A)+sum a_{n}log(x-c_{n});.}

这一思想在绘制相图的方法中被明确使用。画振幅图的方法隐含地使用了这一思想，但由于每个极点或零点的振幅对数总是从零开始，而且只有一个渐近线。