波包

在物理学中，波包是作为一个单元传播的局部波作用的短脉冲或包络。 一个波包可以被分析成，或者可以从无限组不同波数的分量正弦波合成，具有相位和振幅，使得它们仅在空间的一个小区域上建设性地干涉，而在其他地方破坏性地干涉。每个分量波函数 ，因此波包是波动方程的解。 根据波动方程，波包的轮廓可能保持不变，也可能在传播时发生变化。

量子力学赋予波包特殊的意义； 它被解释为概率幅度，其范数平方描述了特定状态下的一个或多个粒子将被测量为具有给定位置或动量的概率密度。 波动方程在这种情况下是薛定谔方程，通过它的应用可以推导出量子力学系统的时间演化，类似于经典力学中哈密顿形式主义的过程。 薛定谔方程解的色散性对否定薛定谔原初解释，接受玻恩法则起到了重要作用。

在波的坐标表示中，物理对象局部概率的位置由包解的位置指定。 此外，空间波包越窄，因此波包的位置定位得越好，波的动量传播越大。 位置分布和动量分布之间的这种权衡是海森堡不确定性原理的一个特征，将在下面说明。

在 1900 年代初期，经典力学明显存在一些重大缺陷。 量子力学的发展——以及它在解释令人困惑的实验结果方面的成功——是这种接受的根源。 因此，量子力学公式中的一个基本概念是光以离散束的形式出现，称为光子。 光子的能量是其频率的函数，E = h ν 。光子的能量等于普朗克常数 h 乘以其频率 ν。 这解决了经典物理学中的一个问题，称为紫外线灾难。

量子力学的思想在整个 20 世纪继续得到发展。 形成的图景是一个粒子世界，所有现象和物质都由离散粒子构成并与之相互作用； 然而，这些粒子是由概率波描述的。 相互作用、位置和所有物理学都将简化为对这些概率幅度的计算。

一个多世纪以来，世界的类粒子性质已通过实验得到证实，而类波现象可以表征为量子粒子波包方面的结果。 根据互补原理，类波和类粒子的特性绝不会同时表现出来。

作为无色散传播的例子，考虑以下经典物理学波动方程的波解 ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u ,

其中 c 是波在给定介质中的传播速度。

使用物理时间约定 e−iωt，波动方程具有平面波解 u ( x , t ) = e i ( k ⋅ x − ω t )

ω 和 k 之间的这种关系应该是有效的，因此平面波是波动方程的解。 它被称为色散关系。

为简化起见，仅考虑在一维中传播的波（扩展到三维很简单）。 那么通解是 u ( x , t ) = A e i ( k x − ω t ) + B e − i ( k x + ω t ) 其中我们可以取 ω = kc。