玻尔兹曼方程

奥尔茨曼方程或玻尔兹曼输运方程 (BTE) 描述了不处于平衡状态的热力学系统的统计行为，由路德维希·玻尔兹曼于 1872 年设计。此类系统的经典示例是在空间中具有温度梯度的流体 通过构成该流体的粒子的随机但有偏向的传输，导致热量从较热的区域流向较冷的区域。 在现代文学中，萨尔茨曼方程一词通常在更一般的意义上使用，指的是描述热力学系统中宏观量（如能量、电荷或粒子数）变化的任何动力学方程。

该方程不是通过分析流体中每个粒子的各个位置和动量而产生的，而是通过考虑典型粒子的位置和动量的概率分布——即粒子占据给定的非常小的空间区域的概率 （数学上体积元素 d 3 r {\displaystyle d{3}\mathbf {r} } ）以位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 为中心，动量几乎等于给定的动量 向量 p {\displaystyle \mathbf {p} }（因此占据动量空间 d 3 p {\displaystyle d{3}\mathbf {p} } 的一个非常小的区域），在一个瞬间。

格尔兹曼方程可用于确定流体在传输过程中物理量的变化情况，例如热能和动量。 人们还可以推导出流体的其他特性，例如粘度、热导率和电导率（通过将材料中的电荷载流子视为气体）。 另见对流扩散方程。

该方程为非线性积分微分方程，方程中的未知函数为粒子位置和动量在六维空间中的概率密度函数。 解决方案的存在性和xxx性问题仍未完全解决，但最近的一些结果非常有希望。

所有可能位置 r 和动量 p 的集合称为系统的相空间； 换句话说，每个位置坐标 x、y、z 的一组三个坐标，每个动量分量 px、py、pz 的三个坐标。 整个空间是6维的：这个空间中的一个点是(r, p) = (x, y, z, px, py, pz)，每个坐标由时间t参数化。 小体积（微分体积元素）写作 d 3 r d 3 p = d x d y d z d p x d p y d p z 。

由于 N 个分子的概率都在 d 3 r d 3 p {\displaystyle d{3}\mathbf {r} \,d{3}\mathbf {p} } 内，所以在 问题，方程的核心是一个量 f，它给出了在时刻 t 的每单位相空间体积的概率，或每单位长度的立方每单位动量立方的概率。 这是一个概率密度函数：f(r, p, t)，定义为 d N = f ( r , p , t ) d 3 r d 3 p {\displaystyle dN=f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d{3}\mathbf {r} \,d{3}\mathbf {p} } 是所有位置都位于体积内的分子数 元素 d 3 r {\displaystyle d{3}\mathbf {r} } 关于 r 和位于动量空间内的动量元素 d 3 p {\displaystyle d{3}\mathbf {p} } 关于 p， 在时间 t。 对位置空间和动量空间的区域进行积分，得出在该区域中具有位置和动量的粒子总数：

这是一个 6 重积分。 虽然 f 与许多粒子相关联，但相空间适用于单粒子（不是所有粒子，这通常是确定性多体系统的情况），因为只有一个 r 和 p 是有问题的。 使用 r1、p1 表示粒子 1、r2、p2 表示粒子 2 等，直至 rN、pN 表示粒子 N 不属于分析范围。

假设系统中的粒子是相同的（因此每个粒子都具有相同的质量 m）。 对于一种以上化学物质的混合物，每种物质都需要一种分布。