数学模型

<a href="https://vibaike.com/123065/" target="_blank">数学模型是一个描述系统采用的数学概念和语言。开发数学模型的过程称为数学建模。数学模型用于自然科学（如物理学、生物学、地球科学、化学）和工程学科（如计算机科学、电气工程）以及非物理系统，如社会科学（如经济学）。数学模型也用于音乐、语言学、哲学（例如，深入分析哲学。

模型可能有助于解释系统和研究不同组件的影响，以及对行为进行预测。

数学模型可以采用多种形式，包括动力系统、统计模型、微分方程或博弈论模型。这些和其他类型的模型可以重叠，给定的模型涉及各种抽象结构。通常，数学模型可以包括逻辑模型。在许多情况下，科学领域的质量取决于在理论方面开发的数学模型与可重复实验结果的一致性。随着更好的理论的发展，理论数学模型和实验测量之间缺乏一致性通常会导致重要的进步。

在物理科学中，传统的数学模型包含以下大部分要素：

1. 控制方程
2. 补充子模型
   1. 定义方程
   2. 本构方程
3. 假设和限制
   1. 初始和边界条件
   2. 经典约束和运动学方程

数学模型通常由关系和变量组成。关系可以通过算子来描述，例如代数算子、函数、微分算子等。变量是感兴趣的系统参数的抽象，可以量化。

根据数学模型的结构，可以使用几种分类标准：

• 线性与非线性的：如果在一个数学模型显示出所有运营商的线性度，所得到的数学模型被定义为线性的。否则，模型被认为是非线性的。线性和非线性的定义取决于上下文，线性模型中可能有非线性表达式。例如，在统计线性模型中，假设参数之间的关系是线性的，但预测变量中的关系可能是非线性的。类似地，如果一个微分方程可以用线性微分算子写成，则称它是线性的，但它仍然可以有非线性表达式。在数学规划中模型，如果目标函数和约束完全由线性方程表示，则该模型被视为线性模型。如果一个或多个目标函数或约束用非线性方程表示，则该模型称为非线性模型。线性结构意味着可以将问题分解为更简单的部分，这些部分可以独立处理和/或以不同的规模进行分析，并且在重新组合和重新调整规模时，获得的结果对于初始问题仍然有效。非线性，即使在相当简单的系统中，也常常与混沌和不可逆等现象有关.尽管有例外，非线性系统和模型往往比线性系统和模型更难研究。非线性问题的一种常见方法是线性化，但如果试图研究与非线性密切相关的不可逆性等方面，这可能会出现问题。
• 静态与动态：甲动态模型占该系统的状态随时间的变化，而静态（或稳态）模型计算系统处于平衡状态，并且因此是不随时间变化。动态模型通常由微分方程或差分方程表示。
• 显式vs.隐式：如果整个模型的所有输入参数都是已知的，并且输出参数可以通过一系列有限的计算来计算，则称该模型是显式的。但有时输出参数是已知的，相应的输入必须通过迭代过程求​​解，例如牛顿法或布罗伊登法。在这种情况下，模型被认为是隐式的。例如，在给定设计热力循环的情况下，可以明确计算喷气发动机的物理特性，例如涡轮和喷嘴喉部面积。（空气和燃料流量、压力和温度）在特定飞行条件和功率设置下，但发动机在其他飞行条件和功率设置下的运行周期无法从恒定的物理属性中明确计算出来。
• 离散，连续：甲离散模型治疗对象作为离散的，诸如在颗粒分子模型或在状态统计模型;而连续模型以连续方式表示对象，例如管流中的流体速度场、固体中的温度和应力，以及由于点电荷而在整个模型上连续施加的电场。
• 确定性与概率（随机）：甲确定性模型是其中每一个组可变状态xxx地由在模型和由多组这些变量的先前状态的参数来确定;因此，对于一组给定的初始条件，确定性模型总是以相同的方式执行。相反，在随机模型（通常称为“统计模型”）中存在随机性，并且变量状态不是由xxx值描述的，而是由概率分布描述的。
• 演绎、归纳或浮动：A演绎模型是基于理论的逻辑结构。归纳模型源于经验发现和对它们的概括。浮动模型既不依赖于理论，也不依赖于观察，而仅仅是对预期结构的调用。数学在经济学以外的社会科学中的应用因没有根据的模型而受到批评。中的应用突变理论在科学已经被表征为浮动模型。
• 博弈论中使用的战略与非战略模型在某种意义上是不同的，它们对具有不相容激励的代理进行建模，例如竞争物种或拍卖中的投标人。战略模型假设参与者是自主决策者，他们理性地选择最大化其目标函数的行动。使用战略模型的一个关键挑战是定义和计算解决方案概念，例如纳什均衡。战略模型的一个有趣特性是它们将关于游戏规则的推理与关于玩家行为的推理分开。

在商业和工程中，数学模型可用于xxx化某个输出。所考虑的系统将需要某些输入。将输入与输出相关联的系统也取决于其他变量：决策变量、状态变量、外生变量和随机变量。

决策变量有时也称为自变量。外生变量有时称为参数或常量。由于状态变量依赖于决策、输入、随机和外生变量，因此变量不是相互独立的。此外，输出变量取决于系统的状态（由状态变量表示）。

系统及其用户的目标和约束可以表示为输出变量或状态变量的函数。该目标函数将取决于模型的用户的角度。根据上下文，目标函数也称为性能指标，因为它是用户感兴趣的某种度量。尽管模型可以具有的目标函数和约束的数量没有限制，但随着数量的增加，使用或优化模型变得更加复杂（在计算上）。

例如，经济学家在使用投入产出模型时经常应用线性代数。具有许多变量的复杂数学模型可以通过使用向量来合并，其中一个符号代表多个变量。

数学模型在自然科学中非常重要，特别是在物理学中。物理理论几乎总是使用数学模型来表达。

纵观历史，越来越多的精确数学模型被开发出来。牛顿定律准确地描述了许多日常现象，但在一定限度内必须使用相对论和量子力学。

在物理学中使用理想化模型来简化事物是很常见的。无质量绳索、点粒子、理想气体和盒子中的粒子是物理学中使用的许多简化模型之一。物理定律用简单的方程表示，如牛顿定律、麦克斯韦方程和薛定谔方程。这些定律是建立真实情况数学模型的基础。许多实际情况非常复杂，因此在计算机上建模近似，计算上可行的模型是由基本定律制成的或由基本定律制成的近似模型。例如，分子可以通过分子轨道建模模型是薛定谔方程的近似解。在工程中，物理模型往往是通过有限元分析等数学方法建立的。

不同的数学模型使用不同的几何形状，这些几何形状不一定准确描述宇宙的几何形状。欧几里得几何在经典物理学中被大量使用，而狭义相对论和广义相对论是使用非欧几里得几何的理论的例子。

通常，当工程师分析要控制或优化的系统时，他们会使用数学模型。在分析中，工程师可以构建系统的描述性模型，作为系统如何工作的假设，或者尝试估计不可预见的事件如何影响系统。同样，在控制系统时，工程师可以在仿真中尝试不同的控制方法。

数学模型通常通过一组变量和一组建立变量之间关系的方程来描述系统。变量可能有多种类型；例如，实数或整数、布尔值或字符串。变量代表系统的一些属性，例如，测量的系统输出通常以信号、定时数据、计数器和事件发生（是/否）的形式出现。实际模型是描述不同变量之间关系的函数集。