哈密​​顿力学

哈密​​顿力学出现于1833年，是对拉格朗日力学的重新表述。由威廉·罗文·汉密尔顿爵士介绍，哈密顿力学取代了（广义）速度{\displaystyle{\dot{q}}^{i}}在具有（广义）动量的拉格朗日力学中使用。这两种理论都提供了对经典力学的解释并描述了相同的物理现象。

哈密​​顿力学与几何（特别是辛几何和泊松结构）有着密切的关系，并且是经典力学和量子力学之间的纽带。

哈密​​顿系统可以理解为纤维束E随时间R，其中纤维Et,t∈R是位置空间。拉格朗日因此在一个函数射流束Ĵ超过ë;采取拉格朗日函数的逐纤维勒让德变换在对偶丛上随时间产生一个函数，其纤维在t是余切空间T∗Et，它配备了自然辛形式，而后一个函数是哈密顿量。拉格朗日力学和哈密顿力学之间的对应关系是用同义反复形式实现的。

辛流形上的任何平滑实值函数H均可用于定义哈密​​顿系统。函数H被称为“哈密顿量”或“能量函数”。辛流形被称为相空间。哈密​​顿量在辛流形上引入了一个特殊的向量场，称为哈密​​顿向量场。

哈密​​顿向量场在流形上产生哈密​​顿流。这是流形的单参数变换族（曲线的参数通常称为“时间”）；换句话说，从同一性开始的辛同胚的同构。根据刘维尔定理，每个辛同胚在相空间上保持体积形式。由哈密顿流引起的辛同胚集合通常被称为哈密顿系统的“哈密顿力学”。

辛结构导致泊松括号。泊松括号给出了流形上的函数空间李代数的结构。

哈密​​顿系统可以以各种方式推广。而不是简单地查看代数的光滑函数在辛流形，哈密顿力学可配制的一般交换酉实泊松代数。甲状态是一个连续的线性功能上泊松代数（配备了一些合适的拓扑结构），使得对于任何元件甲代数的，阿2名映射到非负实数。